Determine o ângulo entre as retas cujos vetores diretores são: \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(-1,4,-2).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas cujos vetores diretores são \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(-1,4,-2). O conteúdo aqui é o cálculo do ângulo entre vetores em \mathbb{R}^3, usando a fórmula
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{\lvert \vec{u}\cdot \vec{v}\rvert}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}\biggr),
onde \vec{u}\cdot \vec{v} é o produto escalar e \|\cdot\| norma euclidiana.

Passo 2

Calculamos o produto escalar:
\vec{u}\cdot \vec{v} = 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 4 + 3\cdot(-2) = -2 - 4 - 6 = -12.

Passo 3

Agora as normas:
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14},
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\lvert -12\rvert}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{294}} = \frac{12}{7\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}.

Passo 5

Finalmente, o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{2\sqrt{6}}{7}\Bigr).
Em graus, numericamente,
\theta \approx 46,0^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{2\sqrt{6}}{7}\Bigr)\approx 46,0^\circ.

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