Converta a equação simétrica
\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-5},
para equações paramétricas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação simétrica
\frac{x-4}{2} \;=\;\frac{y+1}{3}\;=\;\frac{z-2}{-5}
e pede para transformar isso em equações paramétricas. O conteúdo aqui é a representação de uma reta em \mathbb{R}^3 usando um parâmetro. Para isso, vamos introduzir um parâmetro t igual àquela razão comum e, então, isolar x, y e z em função de t.

Passo 2

Definimos
\frac{x-4}{2} \;=\;\frac{y+1}{3}\;=\;\frac{z-2}{-5}\;=\;t.
Dessa igualdade segue:
x-4 = 2t \quad\Longrightarrow\quad x = 2t + 4,
y+1 = 3t \quad\Longrightarrow\quad y = 3t - 1,
z-2 = -5t \quad\Longrightarrow\quad z = -5t + 2.

Resposta

A forma paramétrica da reta é
\begin{cases} x = 4 + 2t,\\\ y = -1 + 3t,\\\ z = 2 - 5t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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