Dada a equação simétrica da reta:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3},
determine um ponto e o vetor diretor da reta.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta na forma simétrica
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3}
e pede um ponto pertencente à reta e o vetor diretor. Para isso, vamos usar a interpretação de que
\frac{x- x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t
é equivalente às equações paramétricas
\begin{cases} x = x_0 + a\,t,\\\ y = y_0 + b\,t,\\\ z = z_0 + c\,t. \end{cases}

Passo 2

Definimos o parâmetro \,t igual àquela razão comum, isto é,
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-4}{3}=t.
Logo, as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 1 + 2\,t,\\\ y = -3 - 1\,t,\\\ z = 4 + 3\,t. \end{cases}

Passo 3

Para encontrar um ponto qualquer na reta, basta tomar t=0. Substituindo em cada equação:
x(0)=1,\quad y(0)=-3,\quad z(0)=4.
Portanto, um ponto da reta é
P=(1,\,-3,\,4).

Passo 4

O vetor diretor é dado pelos coeficientes de t nas equações paramétricas, ou seja,
\vec{v}=(2,\,-1,\,3).

Resposta

Um ponto da reta é (1,-3,4) e um vetor diretor é (2,-1,3).

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