Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
6. \mathbf{a}=\langle s, 2 s, 3 s\rangle, \mathbf{b}=\langle t,-t, 5 t\rangle

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores \mathbf{a}=\langle s,2s,3s\rangle e \mathbf{b}=\langle t,-t,5t\rangle.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do produto escalar para obter
\cos\theta = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}:
\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = s\cdot t + (2s)\cdot(-t) + (3s)\cdot(5t) = st -2st +15st =14\,st.

Passo 3

Calcular as normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|:
\|\mathbf{a}\| =\sqrt{s^2 + (2s)^2 + (3s)^2} =\sqrt{s^2+4s^2+9s^2} =\sqrt{14\,s^2} =|s|\sqrt{14},
\|\mathbf{b}\| =\sqrt{t^2 +(-t)^2 + (5t)^2} =\sqrt{t^2+t^2+25t^2} =\sqrt{27\,t^2} =|t|\sqrt{27}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta =\frac{14\,st}{\bigl(|s|\sqrt{14}\bigr)\bigl(|t|\sqrt{27}\bigr)} =\frac{14\,\mathrm{sign}(st)}{\sqrt{14\cdot27}} =\frac{14\,\mathrm{sign}(st)}{3\sqrt{42}}.
Se assumirmos s e t>0, então \mathrm{sign}(st)=1 e
\cos\theta =\frac{14}{3\sqrt{42}}.

Passo 5

Daí a expressão exata para o ângulo é
\theta =\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{14}{3\sqrt{42}}\biggr).

Passo 6

Agora aproximamos em graus até a unidade:
\frac{14}{3\sqrt{42}}\approx0,72035 \quad\Longrightarrow\quad \theta\approx\operatorname{arccos}(0,72035)\approx44^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{14}{3\sqrt{42}}\bigr)\approx44^\circ.

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