Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
5. \mathbf{a}=\left\langle 4,1, \frac{1}{4}\right\rangle, \mathbf{b}=\langle 6,-3,-8\rangle

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^3: \mathbf{a}=\langle4,1,\tfrac14\rangle e \mathbf{b}=\langle6,-3,-8\rangle.
Para resolver, vamos usar a fórmula
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\|},
em que \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\mathbf{v}\| é a norma de \mathbf{v}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar.
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} =4\cdot6 \;+\;1\cdot(-3)\;+\;\frac14\cdot(-8) =24-3-2=19.

Passo 3

Agora as normas:
Para \mathbf{a}:
\|\mathbf{a}\| =\sqrt{4^2+1^2+\bigl(\tfrac14\bigr)^2} =\sqrt{16+1+\tfrac1{16}} =\sqrt{\frac{273}{16}} =\frac{\sqrt{273}}{4}.
Para \mathbf{b}:
\|\mathbf{b}\| =\sqrt{6^2+(-3)^2+(-8)^2} =\sqrt{36+9+64} =\sqrt{109}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta =\frac{19}{\bigl(\tfrac{\sqrt{273}}{4}\bigr)\,\sqrt{109}} =\frac{19\cdot4}{\sqrt{273}\,\sqrt{109}} =\frac{76}{\sqrt{273\cdot109}} =\frac{76}{\sqrt{29757}}.
Logo a expressão exata para o ângulo é
\theta =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{76}{\sqrt{29757}}\Bigr).

Passo 5

Para aproximar, calculamos numericamente:
\sqrt{29757}\approx172{,}50 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta\approx\frac{76}{172{,}50}\approx0{,}4406
\theta\approx\operatorname{arccos}(0{,}4406)\approx63{,}9^\circ
Arredondando ao grau mais próximo, \theta\approx64^\circ.

Resposta

Expressão exata:
\theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{76}{\sqrt{29757}}\Bigr).
Valor aproximado:
\theta\approx64^\circ.

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