Determine o ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v} nos seguintes casos:
vec{u}=(1,0,0) e vec{v}=(0,1,0);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre dois vetores em \mathbb{R}^3, que são
\vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0).
O conteúdo principal aqui é usar o produto escalar para obter o cosseno do ângulo e então inverter o cosseno.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}.
\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 0.

Passo 3

Calcular as normas de \vec{u} e \vec{v}.
\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1, \qquad \|\vec{v}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1.

Passo 4

Usar a fórmula do ângulo \theta em função do produto escalar:
\cos(\theta) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|} = \frac{0}{1\cdot1} = 0.

Passo 5

Inverter o cosseno para encontrar \theta. Sabendo que \operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2} radianos, temos em graus:
\theta = 90^\circ.

Resposta

\theta = 90^\circ

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