Exercício 14. Mostre que \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=\frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}-\|\vec{u}\|^{2}-\|\vec{v}\|^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade que expressa o produto interno em termos de normas. Estamos em um espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle e norma \|\cdot\| definida por \|\vec w\|^2=\langle \vec w,\vec w\rangle. Vamos usar as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno para chegar à fórmula desejada.

Passo 2

Pela definição de norma, temos
\|\vec u+\vec v\|^2=\langle \vec u+\vec v,\;\vec u+\vec v\rangle.
Nosso primeiro passo é expandir esse produto interno usando bilinearidade.

Passo 3

Usando bilinearidade em cada termo e depois simetria ( \langle\vec u,\vec v\rangle=\langle\vec v,\vec u\rangle), obtemos
\langle \vec u+\vec v,\vec u+\vec v\rangle =\langle\vec u,\vec u\rangle +\langle\vec u,\vec v\rangle +\langle\vec v,\vec u\rangle +\langle\vec v,\vec v\rangle =\|\vec u\|^2 + 2\,\langle\vec u,\vec v\rangle + \|\vec v\|^2.

Passo 4

Agora basta isolar \langle\vec u,\vec v\rangle. Subtraindo \|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2 de ambos os lados e dividindo por 2, vem
2\,\langle\vec u,\vec v\rangle =\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2,
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\langle\vec u,\vec v\rangle =\frac{1}{2}\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\bigr).

Resposta

Portanto, demonstramos que
\langle\vec u,\vec v\rangle =\frac{1}{2}\bigl(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\bigr).

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