Exercício 14. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade que expressa o produto interno em termos de normas. Estamos em um espaço com produto interno
e norma
definida por
. Vamos usar as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno para chegar à fórmula desejada.
Passo 2
Pela definição de norma, temos
Nosso primeiro passo é expandir esse produto interno usando bilinearidade.
Passo 3
Usando bilinearidade em cada termo e depois simetria (
), obtemos
Passo 4
Agora basta isolar
. Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
, vem
logo
Resposta
Portanto, demonstramos que