(2,0) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z^2+x z^2x^2+y^2+z^4.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y,z)to(0,0,0) de
f(x,y,z)=x y + y z^2 + x z^2x^2 + y^2 + z^4
Esse é um limite de função de três variáveis e, para verificar se ele existe, vamos usar o método de trajetórias: se acharmos dois caminhos com limites diferentes, então não existe limite único.

Passo 2

Primeiro, tomemos o caminho em que x=0 e y=0, com zto0. Nesse caso o numerador fica zero e o denominador é z^4, logo
f(0,0,z)=0,
então o limite por esse caminho é 0.

Passo 3

Agora escolhemos o caminho x=y=z^2. Quando zto0 temos
  • numerador: x y + (x+y)z^2 = z^4 + 2z^4 = 3z^4,
  • denominador: x^2 + y^2 + z^4 = z^4 + z^4 + z^4 = 3z^4.
Assim,
f(z^2,z^2,z)=3z^43z^4=1

Passo 4

Como pelo primeiro caminho o limite deu 0 e pelo segundo deu 1, os valores não coincidem. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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