Determinar as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equação vetorial r(t)=lang<= 2 cos t, sin t, trang<= no ponto (0,1, pi / 2)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente à hélice vec r(t)=lang<=2cos t,sin t,trang<= no ponto (0,1,pi/2). O conteúdo envolve derivadas de funções vetoriais para encontrar o vetor tangente e depois montar a reta. Vamos precisar achar o parâmetro t0 correspondente ao ponto, calcular vec r'(t0) e então escrever a reta com ponto e vetor diretor.

Passo 2

Para encontrar o parâmetro t0, resolvemos cada componente de vec r(t)=(0,1,pi/2). Da primeira componente temos 2cos t=0impliescos t=0 e da segunda sin t=1. A única solução no intervalo principal é t0=pi/2, que coincide com a terceira componente z=t0=pi/2.

Passo 3

Calculamos a derivada do vetor posição para obter o vetor tangente. Temos
vec r'(t)=lang<= -2sin t,cos t,1rang<=
Avaliando em t0=pi/2, o vetor tangente fica vec r'(pi/2)=lang<= -2,0,1rang<=.

Passo 4

Escrevemos as equações paramétricas da reta usando o ponto P=(0,1,pi/2) e o vetor diretor lang<= -2,0,1rang<=. Com parâmetro s, temos
x(s)=0-2s, y(s)=1+0cdot s=1, z(s)=tfracpi2+1cdot s

Resposta

x(s)=-2s, y(s)=1, z(s)=pi2+s

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