Determine uma aproximação para a raiz positiva da equação
utilizando o método de Newton-Raphson.
Passo 1
O problema pede: aproximar a raiz positiva da equação
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz positiva (ou seja, o
tal que ).
Passo 2
O método de Newton-Raphson (ou método de Newton) é uma técnica iterativa para achar raízes de uma função. A fórmula iterativa é:
Explicando devagar:
-
é a aproximação atual da raiz. -
é o valor da função nessa aproximação. -
é a derivada da função nessa aproximação. - A razão
é uma correção; subtrai-se essa correção de para obter , que costuma ser muito mais próximo da raiz se a aproximação inicial for razoável.
Agora calculemos a derivada de
. Para
,
Aqui:
-
é a exponencial, -
é negativo para todo (pois ), informação útil para entender o sinal das correções.
Passo 3
Escolha de aproximação inicial
.
Primeiro verifico sinais simples para localizar a raiz:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Vou escolher
porque é um palpite central e já dá
não muito pequeno nem muito grande (bom ponto de partida).
Passo 4
Primeira iteração (
→
).
Calcule
e
.
Aplicando Newton:
Comentário prático: o sinal de
é negativo, então como
acabamos somando uma pequena quantidade a
, aproximando-nos da raiz.
Passo 5
Segunda iteração (
→
).
Primeiro calculo
. Usando o valor obtido:
Agora
Aplicando Newton:
Repare que já estamos muito próximos da solução: a correção ficou da ordem de
no passo anterior e agora muito menor.
Passo 6
Terceira iteração (
→
) e critério de parada.
Com
calculo
Aplicando Newton:
Se quisermos mais precisão, outra iteração leva a
(com valores completos:
quando calculado com precisão maior).
Critério prático de parada: parar quando
for menor que a tolerância desejada (por exemplo
ou
). Aqui já na segunda/terceira iteração a diferença é menor que
.
Passo 7
Resumo e dica prática para a prova.
- Fórmula usada:
com e . - Escolha um
no intervalo onde há mudança de sinal (aqui ), por exemplo . - Fazer 2 ou 3 iterações já dá uma aproximação com boa precisão (dependendo da tolerância).
- Sempre verifique o critério de parada:
ou .
Palavra de incentivo: a sequência converge rápido (convergência quadrática de Newton quando a raiz é simples), então não precisa de muitas iterações — com 2 ou 3 iterações geralmente já se obtém 6–8 casas corretas.