Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}-2 x-5
considerando o chute inicial x_{0}=2 e realizando três iterações.

Passo 1

O enunciado pede que se aplique o método de Newton–Raphson para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}-2x-5
usando o chute inicial x_{0}=2 e realizando exatamente três iterações.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-2x-5.
  • O chute inicial é x_{0}=2.
  • Fazer 3 iterações do método de Newton–Raphson.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações \{x_{n}\} dada pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual da raiz;
  • f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n};
  • f'(x_{n}) é a derivada da função no ponto x_{n};
  • x_{n+1} é a nova aproximação.
Por que isso funciona (intuição prática): faz-se a aproximação linear da função f em torno de x_{n} (reta tangente) e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x. Essa interseção costuma ser uma aproximação muito melhor da raiz quando f é suave e o chute inicial é razoável.
No nosso caso precisamos da derivada de f. Calcula-se:
f'(x)=3x^{2}-2.

Passo 3

Primeira iteração (do x_{0}=2 para x_{1}) — vamos calcular tudo passo a passo e explicar cada conta.
Calcular f(x_{0}) e f'(x_{0}) com x_{0}=2:
f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-4-5=-1,
f'(2)=3\cdot2^{2}-2=3\cdot4-2=12-2=10.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=2-\frac{f(2)}{f'(2)}=2-\frac{-1}{10}=2+0,1=2,1.
Comentário didático: aqui a função era negativa em x_{0}, a derivada era positiva, então o método dá um passo para a direita (aumenta x) e já aproxima bem a raiz.

Passo 4

Segunda iteração (calcular x_{2} a partir de x_{1}=2,1) — novamente com contas explicadas.
Calcular f(2,1) e f'(2,1):
(2,1)^{2}=4,41,\qquad(2,1)^{3}=9,261,
f(2,1)=9,261-2\cdot2,1-5=9,261-4,2-5=0,061,
f'(2,1)=3\cdot(2,1)^{2}-2=3\cdot4,41-2=13,23-2=11,23.
Aplicando a fórmula:
x_{2}=2,1-\frac{0,061}{11,23}\approx 2,1-0,005430921\approx 2,094569079.
Explicação prática: o valor de f em 2,1 já é pequeno ( 0,061), então o ajuste é pequeno; a derivada relativamente grande faz com que o passo seja curto, refinando a aproximação.

Passo 5

Terceira iteração (calcular x_{3} a partir de x_{2}) — mais uma vez detalhando as contas.
Primeiro calcular x_{2}^{2} e x_{2}^{3} (aproximações numéricas):
x_{2}\approx 2,094569079,
x_{2}^{2}\approx 4,387220316,\qquad x_{2}^{3}\approx 9,189312632.
Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}):
f(x_{2})\approx 9,189312632-2\cdot2,094569079-5 =9,189312632-4,189138158-5\approx 0,000174474,
f'(x_{2})=3x_{2}^{2}-2\approx 3\cdot4,387220316-2\approx 13,161660948-2\approx 11,161660948.
Aplicando a fórmula de Newton para obter x_{3}:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx 2,094569079-\frac{0,000174474}{11,161660948} \approx 2,094569079-0,000015636 \approx 2,094553443.
Comentário sobre convergência: o valor de f(x_{2}) já era da ordem de 10^{-4}, e após a terceira iteração o ajuste é da ordem de 10^{-5}. Isso mostra a convergência rápida típica do método de Newton quando próximo da raiz verdadeira.

Resposta

x_{3}\approx 2,094553443

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