Utilize o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da equação
considerando o chute inicial
e realizando três iterações.
Passo 1
O enunciado pede que se aplique o método de Newton–Raphson para aproximar uma raiz da equação
usando o chute inicial
e realizando exatamente três iterações.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O chute inicial é
. - Fazer
iterações do método de Newton–Raphson.
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton–Raphson gera uma sequência de aproximações
dada pela fórmula
Aqui:
-
é a aproximação atual da raiz; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada da função no ponto ; -
é a nova aproximação.
Por que isso funciona (intuição prática): faz-se a aproximação linear da função
em torno de
(reta tangente) e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
. Essa interseção costuma ser uma aproximação muito melhor da raiz quando
é suave e o chute inicial é razoável.
No nosso caso precisamos da derivada de
. Calcula-se:
Passo 3
Primeira iteração (do
para
) — vamos calcular tudo passo a passo e explicar cada conta.
Calcular
e
com
:
Aplicando a fórmula de Newton:
Comentário didático: aqui a função era negativa em
, a derivada era positiva, então o método dá um passo para a direita (aumenta
) e já aproxima bem a raiz.
Passo 4
Segunda iteração (calcular
a partir de
) — novamente com contas explicadas.
Calcular
e
:
Aplicando a fórmula:
Explicação prática: o valor de
em
já é pequeno (
), então o ajuste é pequeno; a derivada relativamente grande faz com que o passo seja curto, refinando a aproximação.
Passo 5
Terceira iteração (calcular
a partir de
) — mais uma vez detalhando as contas.
Primeiro calcular
e
(aproximações numéricas):
Calcular
e
:
Aplicando a fórmula de Newton para obter
:
Comentário sobre convergência: o valor de
já era da ordem de
, e após a terceira iteração o ajuste é da ordem de
. Isso mostra a convergência rápida típica do método de Newton quando próximo da raiz verdadeira.