Reescreva a equação
x^{3}+x-1=0
na forma x=g(x) e aplique o método do ponto fixo considerando x_{0}=0,5.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Reescrever a equação x^{3}+x-1=0
na forma \,x=g(x)\,.
  • Aplicar o método do ponto fixo (iteração x_{n+1}=g(x_n)) tomando x_{0}=0,5.
Informações dadas:
  • Equação original: \,x^{3}+x-1=0.
  • Ponto inicial para a iteração: \,x_{0}=0,5.

Passo 2

O que é o método do ponto fixo e quando ele funciona (aula rápida, sem floreio):
  • Definição: dada uma função g, um ponto \alpha é ponto fixo se \alpha=g(\alpha). Para resolver a equação original transformamos em x=g(x) e procuramos um ponto fixo de g.
  • Iteração: a aproximação é feita por
x_{n+1}=g(x_n),\qquad n=0,1,2,\dots
  • Condição prática de convergência (critério fácil de checar): se existe um intervalo I com x_0\in I tal que g(I)\subset I e \max_{x\in I}|g'(x)|<1, então g é uma contração em I e a iteração converge para o ponto fixo único em I.
  • Interpretação simples: |g'(x)|<1 perto da raiz significa que a função “puxa” as aproximações para dentro (contrai), caso contrário pode divergir ou oscilar.

Passo 3

Escolha de uma forma g(x). Há várias maneiras de isolar x. Exemplos:
  • g_{1}(x)=1-x^{3}. (simples, mas pode divergir; explico por quê adiante)
  • Isolando x^{3}: \,x=(1-x)^{1/3}. Vou escolher
g(x)=(1-x)^{1/3},
porque, como veremos, essa escolha tende a satisfazer a condição |g'(x)|<1 perto da raiz real desta equação, enquanto g_{1}(x)=1-x^{3} tem derivada |g_{1}'(x)|=3x^{2} que, no ponto fixo, dá valor maior que 1 e normalmente leva à divergência.

Passo 4

Calcular a derivada de g e verificar o critério local de convergência (intuitivamente).
  • Derivada:
g'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl((1-x)^{1/3}\bigr)=-\dfrac{1}{3}(1-x)^{-2/3}.
  • Avaliando no ponto inicial x_{0}=0,5:
|g'(0,5)|=\dfrac{1}{3}(1-0,5)^{-2/3}=\dfrac{1}{3}\,(0,5)^{-2/3}=\dfrac{1}{3}\,2^{2/3}\approx0,529.
Como 0,529<1, há indicação de que, pelo menos começando em x_{0}=0,5, a iteração pode convergir (é um bom sinal local). Nota: no ponto fixo real \alpha (que ainda não conhecemos exatamente), tem-se g'(\alpha)\approx-0,715 (valor absoluto menor que 1), o que confirma que a alternativa escolhida é adequada.

Passo 5

Escrevendo explicitamente a iteração:
x_{n+1}=g(x_n)=(1-x_n)^{1/3}.
Explicação prática de como calcular (1-x_n)^{1/3}: é a raiz cúbica real de 1-x_n. Pode-se calcular a raiz cúbica por uma calculadora científica, ou por um método simples de Newton para y^{3}-a=0 (mostrarei a fórmula se quiser), mas aqui vou usar aproximações numéricas para os iterados.

Passo 6

Cálculo das primeiras iterações (vou mostrar com 9 casas significativas para você acompanhar a convergência). Lembrete: vírgula para decimais.
  • x_{0}=0,5.
  • x_{1}=(1-x_{0})^{1/3}=(0,5)^{1/3}\approx 0,793700526.
  • x_{2}=(1-x_{1})^{1/3}=(0,206299474)^{1/3}\approx 0,591011.
  • x_{3}=(1-x_{2})^{1/3}=(0,408989)^{1/3}\approx 0,742369.
  • x_{4}=(1-x_{3})^{1/3}=(0,257631)^{1/3}\approx 0,636333.

Passo 7

Continuando as iterações para ver a evolução (mais termos para você perceber o comportamento oscilatório que diminui):
  • x_{5}\approx(1-0,636333)^{1/3}\approx 0,713733.
  • x_{6}\approx(1-0,713733)^{1/3}\approx 0,659037.
  • x_{7}\approx(1-0,659037)^{1/3}\approx 0,698657.
  • x_{8}\approx(1-0,698657)^{1/3}\approx 0,670513.
  • x_{9}\approx(1-0,670513)^{1/3}\approx 0,690740.

Passo 8

Observação sobre o comportamento: a sequência apresenta uma oscilação (vai e volta) mas a amplitude diminui — isso é típico quando |g'(\alpha)| é menor que 1 mas não muito pequeno; a convergência é lenta e os valores se aproximam do ponto fixo alternando acima e abaixo.

Passo 9

Mais algumas iterações até termos uma aproximação razoavelmente estável (vou mostrar até onde o valor já se aproxima com precisão prática):
  • x_{10}\approx 0,676429.
  • x_{11}\approx 0,686258.
  • x_{12}\approx 0,679551.
  • x_{13}\approx 0,684160.
  • x_{14}\approx 0,681950.
  • x_{15}\approx 0,683600.
Repare que os valores oscilam em torno de um número próximo a 0,6823 e a amplitude da oscilação vai diminuindo.

Passo 10

Conclusão numérica e observações finais:
  • A iteração com g(x)=(1-x)^{1/3} e x_{0}=0,5 converge (lentamente) para o ponto fixo real da função, que é a raiz da equação original.
  • Valor aproximado da raiz (fixpoint) com boa precisão:
x\approx 0,682328\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
  • Observação prática: como a convergência é moderadamente lenta, normalmente numa prova basta mostrar os primeiros iterados e afirmar a convergência para x\approx0,6823. Se for preciso alta precisão, usa-se Newton ou aceleração da convergência.

Resposta

g(x)=(1-x)^{1/3}
x\approx 0,682328

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