Reescreva a equação
na forma
e aplique o método do ponto fixo considerando
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Reescrever a equação
na forma
.
- Aplicar o método do ponto fixo (iteração
) tomando .
Informações dadas:
- Equação original:
. - Ponto inicial para a iteração:
.
Passo 2
O que é o método do ponto fixo e quando ele funciona (aula rápida, sem floreio):
- Definição: dada uma função
, um ponto é ponto fixo se . Para resolver a equação original transformamos em e procuramos um ponto fixo de . - Iteração: a aproximação é feita por
- Condição prática de convergência (critério fácil de checar): se existe um intervalo
com tal que e , então é uma contração em e a iteração converge para o ponto fixo único em . - Interpretação simples:
perto da raiz significa que a função “puxa” as aproximações para dentro (contrai), caso contrário pode divergir ou oscilar.
Passo 3
Escolha de uma forma
. Há várias maneiras de isolar
. Exemplos:
-
. (simples, mas pode divergir; explico por quê adiante) - Isolando
: . Vou escolher
porque, como veremos, essa escolha tende a satisfazer a condição
perto da raiz real desta equação, enquanto
tem derivada
que, no ponto fixo, dá valor maior que 1 e normalmente leva à divergência.
Passo 4
Calcular a derivada de
e verificar o critério local de convergência (intuitivamente).
- Derivada:
- Avaliando no ponto inicial
:
Como
, há indicação de que, pelo menos começando em
, a iteração pode convergir (é um bom sinal local). Nota: no ponto fixo real
(que ainda não conhecemos exatamente), tem-se
(valor absoluto menor que 1), o que confirma que a alternativa escolhida é adequada.
Passo 5
Escrevendo explicitamente a iteração:
Explicação prática de como calcular
: é a raiz cúbica real de
. Pode-se calcular a raiz cúbica por uma calculadora científica, ou por um método simples de Newton para
(mostrarei a fórmula se quiser), mas aqui vou usar aproximações numéricas para os iterados.
Passo 6
Cálculo das primeiras iterações (vou mostrar com 9 casas significativas para você acompanhar a convergência). Lembrete: vírgula para decimais.
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 7
Continuando as iterações para ver a evolução (mais termos para você perceber o comportamento oscilatório que diminui):
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 8
Observação sobre o comportamento: a sequência apresenta uma oscilação (vai e volta) mas a amplitude diminui — isso é típico quando
é menor que 1 mas não muito pequeno; a convergência é lenta e os valores se aproximam do ponto fixo alternando acima e abaixo.
Passo 9
Mais algumas iterações até termos uma aproximação razoavelmente estável (vou mostrar até onde o valor já se aproxima com precisão prática):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Repare que os valores oscilam em torno de um número próximo a
e a amplitude da oscilação vai diminuindo.
Passo 10
Conclusão numérica e observações finais:
- A iteração com
e converge (lentamente) para o ponto fixo real da função, que é a raiz da equação original. - Valor aproximado da raiz (fixpoint) com boa precisão:
- Observação prática: como a convergência é moderadamente lenta, normalmente numa prova basta mostrar os primeiros iterados e afirmar a convergência para
. Se for preciso alta precisão, usa-se Newton ou aceleração da convergência.