Determine a área entre as curvas:
y=e^{x}, y=x^{2}-1, x=-1, x=1
y=e^{x}, y=x^{2}-1, x=-1, x=1
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada por
,
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função superior/ inferior não está indicada explicitamente; temos que comparar
e no intervalo . - As fronteiras verticais são
e .
Objetivo final: calcular a área da região entre as duas curvas no intervalo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): a área entre duas curvas
e
para
entre
e
, quando
está sempre acima de
, é
Aqui cada pedaço vertical tem altura
e a integral soma essas alturas ao longo de
. Antes de integrar, preciso saber qual é
(a de cima) e qual é
(a de baixo) no intervalo.
Passo 3
Comparando as funções em
:
- Para
temos , então . Ou seja, varia entre e nesse intervalo. - Para
temos . Como , então em todo o intervalo.
Comoé sempre positivo e , concluímos que
Portanto a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Montando a integral da área com os limites
e
:
Explicação curta: subtraímos a função de baixo da função de cima ponto a ponto e integramos de
a
.
Passo 5
Agora vamos achar a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo:
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é , pois . - A primitiva de
é , pois .
Logo uma primitiva do integrando
é
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é
. Calculo
:
Passo 7
Calculo
. Aqui atenção aos sinais:
Passo 8
Subtraindo
de
:
Se quiser uma ideia numérica rápida (só pra intuir):
, então a área aproximada é
.