Determine a área entre as curvas:
y=e^{x}, y=x^{2}-1, x=-1, x=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada por y=e^{x}, y=x^{2}-1, x=-1 e x=1.
Informações dadas:
  • A função superior/ inferior não está indicada explicitamente; temos que comparar y=e^{x} e y=x^{2}-1 no intervalo [-1,1].
  • As fronteiras verticais são x=-1 e x=1.
    Objetivo final: calcular a área da região entre as duas curvas no intervalo x\in[-1,1].

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) para x entre a e b, quando f(x) está sempre acima de g(x), é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui cada pedaço vertical tem altura f(x)-g(x) e a integral soma essas alturas ao longo de x. Antes de integrar, preciso saber qual é f (a de cima) e qual é g (a de baixo) no intervalo.

Passo 3

Comparando as funções em [-1,1]:
  • Para x\in[-1,1] temos x^{2}\le 1, então x^{2}-1\le 0. Ou seja, y=x^{2}-1 varia entre -1 e 0 nesse intervalo.
  • Para x\in[-1,1] temos e^{x}\ge e^{-1}. Como e^{-1}\approx 0,3679>0, então e^{x}>0 em todo o intervalo.
    Como e^{x} é sempre positivo e x^{2}-1\le 0, concluímos que
e^{x} > x^{2}-1\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
Portanto a função superior é f(x)=e^{x} e a inferior é g(x)=x^{2}-1.

Passo 4

Montando a integral da área com os limites a=-1 e b=1:
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl(e^{x}-(x^{2}-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}\bigl(e^{x}-x^{2}+1\bigr)\,dx.Á
Explicação curta: subtraímos a função de baixo da função de cima ponto a ponto e integramos de -1 a 1.

Passo 5

Agora vamos achar a primitiva (antiderivada) do integrando termo a termo:
  • A primitiva de e^{x} é e^{x}, porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.
  • A primitiva de 1 é x, pois \dfrac{d}{dx}x=1.
Logo uma primitiva do integrando e^{x}-x^{2}+1 é
F(x)=e^{x}-\dfrac{x^{3}}{3}+x.

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é F(1)-F(-1). Calculo F(1):
F(1)=e^{1}-\dfrac{1^{3}}{3}+1=e-\dfrac{1}{3}+1=e+\dfrac{2}{3}.

Passo 7

Calculo F(-1). Aqui atenção aos sinais:
F(-1)=e^{-1}-\dfrac{(-1)^{3}}{3}+(-1)=e^{-1}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)-1=e^{-1}+\dfrac{1}{3}-1=e^{-1}-\dfrac{2}{3}.

Passo 8

Subtraindo F(-1) de F(1):
\text{Área}=F(1)-F(-1)=\left(e+\dfrac{2}{3}\right)-\left(e^{-1}-\dfrac{2}{3}\right) = e-e^{-1}+\dfrac{4}{3}.Á
Se quiser uma ideia numérica rápida (só pra intuir): e-e^{-1}\approx 2{,}71828-0{,}36788\approx 2{,}3504, então a área aproximada é 2{,}3504+\tfrac{4}{3}\approx 2{,}3504+1{,}3333\approx 3{,}6837.

Resposta

\displaystyle e-e^{-1}+\dfrac{4}{3}

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