Determine a área entre as curvas:
y=x, y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a área entre as curvas y=x e y=x^{2}".
Informações fornecidas: as duas curvas estão descritas por funções explícitas de x: y=x (reta) e y=x^{2} (parábola).
Pergunta clara: qual é a área da região limitada por essas duas curvas no plano cartesiano?

Passo 2

Escolher como calcular a área. Uma forma padrão e prática é usar integrais com fatias verticais (integrar em x): a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx,Á
onde f(x) é a função que fica acima (maior) e g(x) a que fica abaixo (menor) no intervalo [a,b]. Vou aplicar essa fórmula aqui porque as curvas estão dadas como funções de x e se cruzam em dois pontos, formando uma região limitada verticalmente.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção (os limites de integração). As interseções ocorrem quando
x = x^{2}.
Resolvendo:
x^{2}-x=0,
x(x-1)=0.
Portanto os pontos de interseção em x são x=0 e x=1. Esses serão os limites a=0 e b=1.

Passo 4

Identificar qual curva está por cima entre x=0 e x=1. Compare y=x e y=x^{2} para um ponto entre 0 e 1, por exemplo x=\tfrac{1}{2}:
y=x \Rightarrow y=\tfrac{1}{2},
y=x^{2} \Rightarrow y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}, temos x>x^{2} para 0<x<1. Logo y=x é a função superior f(x) e y=x^{2} é a função inferior g(x) no intervalo [0,1].

Passo 5

Montar a integral que representa a área, usando a fórmula do Passo 2 com a=0, b=1, f(x)=x e g(x)=x^{2}:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
\int\bigl(x-x^{2}\bigr)\,dx=\int x\,dx-\int x^{2}\,dx=\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+C.
Agora avaliamos o resultado entre os limites 0 e 1:
\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right).

Passo 7

Calcular o valor numérico:
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}.
O segundo termo é zero, então a área é \frac{1}{6}. Isso faz sentido: é um valor positivo e relativamente pequeno, coerente com a região estreita entre a reta e a parábola no intervalo [0,1].

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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