Determine a área entre as curvas:
y=x, y=x^{2}
y=x, y=x^{2}
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a área entre as curvas
e
".
Informações fornecidas: as duas curvas estão descritas por funções explícitas de :
(reta) e
(parábola).
Pergunta clara: qual é a área da região limitada por essas duas curvas no plano cartesiano?
Informações fornecidas: as duas curvas estão descritas por funções explícitas de
Pergunta clara: qual é a área da região limitada por essas duas curvas no plano cartesiano?
Passo 2
Escolher como calcular a área. Uma forma padrão e prática é usar integrais com fatias verticais (integrar em
): a área entre duas curvas
e
entre
e
é
onde
é a função que fica acima (maior) e
a que fica abaixo (menor) no intervalo
. Vou aplicar essa fórmula aqui porque as curvas estão dadas como funções de
e se cruzam em dois pontos, formando uma região limitada verticalmente.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção (os limites de integração). As interseções ocorrem quando
Resolvendo:
Portanto os pontos de interseção em
são
e
. Esses serão os limites
e
.
Passo 4
Identificar qual curva está por cima entre
e
. Compare
e
para um ponto entre 0 e 1, por exemplo
:
Como
, temos
para
. Logo
é a função superior
e
é a função inferior
no intervalo
.
Passo 5
Montar a integral que representa a área, usando a fórmula do Passo 2 com
,
,
e
:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando termo a termo:
Agora avaliamos o resultado entre os limites
e
:
Passo 7
Calcular o valor numérico:
O segundo termo é zero, então a área é
. Isso faz sentido: é um valor positivo e relativamente pequeno, coerente com a região estreita entre a reta e a parábola no intervalo
.