Determine a área entre os gráficos das curvas f(x)=x^3-x e g(x)=sen(pi x) no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre os gráficos das funções f(x) = x^3 - x e g(x) = sin(pi x) no intervalo de x de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual das duas funções está em cima da outra no intervalo de 0 a 1. Isso é importante porque a área entre as curvas é calculada subtraindo a função de baixo da função de cima.
Vamos analisar os valores das funções nos extremos do intervalo:
  • Para x = 0 :
f(0) = 0^3 - 0 = 0
g(0) = sin(0) = 0
  • Para x = 1 :
f(1) = 1^3 - 1 = 0
g(1) = sin(pi cdot 1) = 0
No meio do intervalo, vamos verificar em x = 0.5 :
f(0.5) = (0.5)^3 - 0.5 = 0.125 - 0.5 = -0.375
g(0.5) = sin(pi cdot 0.5) = sin(pi2) = 1
Então, g(x) está acima de f(x) nesse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos que g(x) está acima de f(x) no intervalo [0,1], a área entre as curvas é dada pela integral da diferença g(x) - f(x) de 0 a 1:
Área = integral0^1 [g(x) - f(x)] , dx = integral0^1 [sin(pi x) - (x^3 - x)] , dx Á

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos separar a integral:
Área = integral0^1 sin(pi x) , dx - integral0^1 (x^3 - x) , dx Á
Calculando cada parte:
  1. Integral de sin(pi x) :
integral sin(pi x) , dx = -cos(pi x)pi + C
Avaliando de 0 a 1:
[ -cos(pi x)pi ]0^1 = -cos(pi)pi + cos(0)pi = -(-1)pi + 1pi = 1pi + 1pi = 2pi
  1. Integral de x^3 - x :
integral (x^3 - x) , dx = x^44 - x^22 + C
Avaliando de 0 a 1:
[ x^44 - x^22 ]0^1 = ( 14 - 12 ) - (0 - 0) = 14 - 12 = -14

Passo 5

Agora, juntando os resultados das integrais:
Área = 2pi - ( -14 ) = 2pi + 14 Á
Para obter um valor numérico, vamos calcular:
2pi approx 23.1416 approx 0.6366
0.6366 + 0.25 = 0.8866

Resposta

A área entre os gráficos das curvas f(x) = x^3 - x e g(x) = sin(pi x) no intervalo [0,1] é aproximadamente 0,8866 unidades de área.

Exercícios relacionados