Determine o valor de k, de forma que a reta horizontal y=k divida a área englobada pelas curvas y=x^2 e y=9 em duas partes iguais.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a região limitada pela parábola ,y=x^2 e pela reta horizontal ,y=9. A tarefa é achar o valor de ,k de modo que a reta ,y=k divida essa região em duas áreas iguais. O conteúdo central aqui é cálculo de área entre curvas usando integrais.

Passo 2

Calculamos primeiro a área total da região, que vai de x=-3 a x=3. Temos
Atotal=integral-3^3l(9 - x^2r),dx =2integral0^3l(9 - x^2r),dx =2l[9x - tfracx^33r]0^3 =2l(27 - 9r) =36
Logo, cada parte deve ter área igual a 18.

Passo 3

Agora expressamos a área abaixo de y=k (entre y=x^2 e y=k). A reta cruza a parábola em x=pmraizk, então
A1(k)=integral-raizk^raizkl(k - x^2r),dx =2integral0^raizkl(k - x^2r),dx =2l[kx - tfracx^33r]0^raizk =tfrac43,k^3/2

Passo 4

Para dividir a região em duas partes iguais, impomos
A1(k)=18
Assim,
tfrac43,k^3/2=18 Longrightarrow k^3/2=tfrac272 Longrightarrow k=l(tfrac272r)^2/3

Resposta

k=l(tfrac272r)^2/3

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