Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t.
z=ln (x^2+y^2+w^2), x=sen(t), y=cos (t), w=tg(t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada dzdt de uma função z que depende de três variáveis x,y,w, cada uma função de t. O tema aqui é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt +partial zpartial w,dwdt

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
z=lnl(x^2+y^2+w^2r)
Usando dduln(u)=1/u e a regra da cadeia interna, obtemos
partial zpartial x =1x^2+y^2+w^2cdot 2x, partial zpartial y =1x^2+y^2+w^2cdot 2y, partial zpartial w =1x^2+y^2+w^2cdot 2w

Passo 3

Agora as derivadas de x,y,w em relação a t, dado x=sen(t), y=cos(t), w=tg(t):
dxdt=cos(t), dydt=-sen(t), dwdt=sec^2(t)

Passo 4

Substituindo na Regra da Cadeia,
dzdt =2xx^2+y^2+w^2cos(t) +2yx^2+y^2+w^2l(-sen(t)r) +2wx^2+y^2+w^2sec^2(t)
Como x=sen(t) e y=cos(t), o numerador fica
2l(sen(t)cos(t)-cos(t)sen(t)+tan(t)sec^2(t)r) =2,tan(t)sec^2(t)

Passo 5

O denominador é
x^2+y^2+w^2 =sen^2(t)+cos^2(t)+tan^2(t) =1+tan^2(t) =sec^2(t)
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dzdt =2,tan(t)sec^2(t)sec^2(t) =2,tan(t)

Resposta

dzdt=2,tan(t)

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