Determine a área limitada pela parábola
e pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela parábola
e pela reta
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Parâbola:
. - Reta:
.
A tarefa é encontrar a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada do zero).
Para encontrar a área entre duas curvas que se intersectam em e
, usamos fatias verticais (pedacinhos de largura
). Em cada fatia a contribuição de área é aproximadamente a altura da fatia vezes a largura:
. A altura é a diferença entre a função de cima e a função de baixo. Portanto a fórmula básica é
Para encontrar a área entre duas curvas que se intersectam em
Aqui
é a curva que, para cada
no intervalo
, tem maior valor de
, e
é a de menor valor. Vou usar essa fórmula com integração em
porque as duas curvas são dadas como
função de
(é a opção mais direta).
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção (limites
e
). Igualamos as duas expressões de
:
Passo a passo para resolver:
Essa quadrática fatoriza-se facilmente:
Logo as raízes são
e
. Esses são os limites de integração:
e
.
Para completar, os pontos de interseção são e
, pois por exemplo
e
.
Para completar, os pontos de interseção são
Passo 4
Determinar qual curva está acima (ou seja,
e
).
Escolho um entre
e
, por exemplo
.
Escolho um
- Para a parábola:
. - Para a reta:
.
Como, a reta está acima da parábola no intervalo entre as interseções. Portanto
Passo 5
Montar o integral da área e simplificar o integrando.
Pela fórmula,
Pela fórmula,
Simplificando o integrando:
Assim
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação).
Integramos termo a termo. Uma antiderivada de
é
Integramos termo a termo. Uma antiderivada
porque
,
e
. Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
Calculemos cada valor:
Agora a diferença:
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
A área encontrada é positiva, como esperado, e igual a . Dá para checar grosso modo que esse valor é razoável olhando a região: largura total em
é
(
a
) e altura média está perto de
, então
, consistente com
. Vai dar certo na prova!
A área encontrada é positiva, como esperado, e igual a