Determine a área limitada pela parábola \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1 e pela reta \mathrm{y}=-\mathrm{x}+3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y=x^{2}+1 e pela reta y=-x+3.
Informações dadas:
  • Parâbola: y=x^{2}+1.
  • Reta: y=-x+3.
    A tarefa é encontrar a área da região fechada onde essas duas curvas se interceptam.

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada do zero).
Para encontrar a área entre duas curvas que se intersectam em x=a e x=b, usamos fatias verticais (pedacinhos de largura dx). Em cada fatia a contribuição de área é aproximadamente a altura da fatia vezes a largura: \text{altura}\times dx. A altura é a diferença entre a função de cima e a função de baixo. Portanto a fórmula básica é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f_{\text{top}}(x)-f_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui f_{\text{top}}(x) é a curva que, para cada x no intervalo [a,b], tem maior valor de y, e f_{\text{bottom}}(x) é a de menor valor. Vou usar essa fórmula com integração em x porque as duas curvas são dadas como y= função de x (é a opção mais direta).

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção (limites a e b). Igualamos as duas expressões de y:
x^{2}+1 = -x+3.
Passo a passo para resolver:
x^{2}+1 = -x+3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-2=0.
Essa quadrática fatoriza-se facilmente:
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)=0.
Logo as raízes são x=-2 e x=1. Esses são os limites de integração: a=-2 e b=1.
Para completar, os pontos de interseção são (-2,5) e (1,2), pois por exemplo y(-2)=(-2)^{2}+1=5 e y(1)=1^{2}+1=2.

Passo 4

Determinar qual curva está acima (ou seja, f_{\text{top}} e f_{\text{bottom}}).
Escolho um x entre -2 e 1, por exemplo x=0.
  • Para a parábola: y_{p}(0)=0^{2}+1=1.
  • Para a reta: y_{r}(0)=-0+3=3.
    Como 3>1, a reta y=-x+3 está acima da parábola y=x^{2}+1 no intervalo entre as interseções. Portanto
f_{\text{top}}(x)=-x+3,\qquad f_{\text{bottom}}(x)=x^{2}+1.

Passo 5

Montar o integral da área e simplificar o integrando.
Pela fórmula,
A=\int_{-2}^{1}\bigl((-x+3)-(x^{2}+1)\bigr)\,dx.
Simplificando o integrando:
(-x+3)-(x^{2}+1) = -x - x^{2} +2.
Assim
A=\int_{-2}^{1}\bigl(-x - x^{2} +2\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação).
Integramos termo a termo. Uma antiderivada F(x) de -x - x^{2} +2 é
F(x) = -\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + 2x,
porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)=-x, \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{x^{3}}{3}\bigr)=-x^{2} e \dfrac{d}{dx}(2x)=2. Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
A = F(1)-F(-2).
Calculemos cada valor:
F(1) = -\tfrac{1^{2}}{2} - \tfrac{1^{3}}{3} + 2\cdot1 = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} + 2 = 2 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{7}{6}.
F(-2) = -\tfrac{(-2)^{2}}{2} - \tfrac{(-2)^{3}}{3} + 2(-2) = -\tfrac{4}{2} - \tfrac{-8}{3} -4 = -2 + \tfrac{8}{3} -4 = -6 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{18}{3} + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{10}{3}.
Agora a diferença:
A = \tfrac{7}{6} - \bigl(-\tfrac{10}{3}\bigr) = \tfrac{7}{6} + \tfrac{10}{3}.
Colocando em denominador comum 6:
\tfrac{7}{6} + \tfrac{20}{6} = \tfrac{27}{6} = \tfrac{9}{2}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
A área encontrada é positiva, como esperado, e igual a \tfrac{9}{2}. Dá para checar grosso modo que esse valor é razoável olhando a região: largura total em x é 3 ( -2 a 1) e altura média está perto de 1{,}5, então 3\times1{,}5\approx4{,}5, consistente com \tfrac{9}{2}=4{,}5. Vai dar certo na prova!

Resposta

\dfrac{9}{2}

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