Integrais por Partes: Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação dada: o integrando é o produto de um polinômio
por . - Resultado esperado: uma primitiva (função
) tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método e fórmula básica (a que o enunciado sugere): vamos usar a técnica de integração por partes, pois temos produto de uma função polinomial por
. A fórmula de integração por partes é
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (ficar “mais simples” após derivar) e
é a parte que integramos para obter
. Uma estratégia comum: escolher
como o polinômio e
porque
reduz o grau e
é simples.
Também é conveniente usar linearidade para separar termos:
Logo precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calcular
(mensagem: este é um subproblema simples que usaremos depois).
- Escolha:
e . - Então
e .
Aplicando a fórmula:
Explicação: diferenciando
fica
(reduce o grau), e integrar
mantém
, por isso a expressão fica simples.
Passo 4
Calcular
por partes (vai reduzir para o caso anterior).
- Escolha:
e . - Então
e .
Aplicando a fórmula:
Agora substituímos o resultado de
do Passo 3:
Fazendo a distribuição e reorganizando:
Passo 5
Agora voltamos à integral original, juntando as duas partes:
Substituindo os resultados do Passo 4 e do Passo 3:
Agrupando termos com
:
Observe que
e
se cancelam, restando
Verificação rápida (boa prática na prova): diferenciar
:
que é exatamente o integrando. Perfeito!
Passo 6
Dica e moral:
- Para integrais do tipo polinômio vezes
é padrão escolher o polinômio como nas integrações por partes: cada aplicação reduz o grau do polinômio até terminar. - Às vezes vale separar os termos pelo princípio da linearidade antes de aplicar partes, como fizemos aqui.
- Fica a calma: com prática esse tipo vira automático — e aqui deu uma simplificação muito bonita (resultado simples).