Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{x}}(\sqrt{\mathrm{x}}+1)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)}
e confirmar a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação relevante: a variável x aparece dentro de raiz quadrada, logo presumimos o domínio natural de integração como x>0 (assim \sqrt{x} está bem definida e \sqrt{x}+1>0). Não há outros dados adicionais.

Passo 2

Observação sobre a técnica pedida: a questão solicita usar mudanças de variável (substituições). A ideia é escolher uma substituição que simplifique a expressão envolvendo \sqrt{x}. Uma escolha natural é definir a nova variável igual à raiz presente no integrando:
u = \sqrt{x}.

Passo 3

Transformar x e \mathrm{d}x em função de u. Se \,u=\sqrt{x}\, então x=u^{2}. Diferenciando os dois lados em relação a u obtemos
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=2u,
portanto
\mathrm{d}x = 2u\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Reescrever o integrando usando u. Substituindo x=u^{2} e \mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u na integral original:
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)} = \int \frac{2u\,\mathrm{d}u}{u\,(u+1)}.
Aqui foi usado explicitamente que \sqrt{x}=u.

Passo 5

Simplificar a expressão dentro da integral. No numerador temos 2u e no denominador u(u+1), logo podemos cancelar o fator u (lembrando que u=\sqrt{x}>0, então u\neq0):
\int \frac{2u\,\mathrm{d}u}{u\,(u+1)} = \int \frac{2\,\mathrm{d}u}{u+1}.

Passo 6

Integrar em u. A integral de \dfrac{1}{u+1} é o logaritmo natural, portanto
\int \frac{2\,\mathrm{d}u}{u+1} = 2\ln|u+1| + C,
onde C é constante de integração. Como u=\sqrt{x}\ge 0 temos u+1>0, então o valor absoluto não é necessário e podemos escrever 2\ln(u+1)+C.

Passo 7

Voltar à variável x (substituição reversa). Como u=\sqrt{x},
\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)} = 2\ln(\sqrt{x}+1) + C.

Passo 8

Confirmação por diferenciação (verificar que a derivada da primitiva é o integrando). Seja
F(x)=2\ln(\sqrt{x}+1)+C.
Calculamos F'(x). Usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(\sqrt{x}+1) em relação a x é \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} vezes a derivada de \sqrt{x}, que é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Assim,
F'(x)=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)}.
Isso coincide exatamente com o integrando, confirmando a primitiva.

Resposta

2\ln(\sqrt{x}+1)+C

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