Resolva as seguintes integrais usando as mudanças de variáveis. Confirme sua resposta derivando a primitiva e encontrando a função integranda.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e confirmar a resposta derivando a primitiva encontrada. Informação relevante: a variável
aparece dentro de raiz quadrada, logo presumimos o domínio natural de integração como
(assim
está bem definida e
). Não há outros dados adicionais.
Passo 2
Observação sobre a técnica pedida: a questão solicita usar mudanças de variável (substituições). A ideia é escolher uma substituição que simplifique a expressão envolvendo
. Uma escolha natural é definir a nova variável igual à raiz presente no integrando:
Passo 3
Transformar
e
em função de
. Se
então
. Diferenciando os dois lados em relação a
obtemos
portanto
Passo 4
Reescrever o integrando usando
. Substituindo
e
na integral original:
Aqui foi usado explicitamente que
.
Passo 5
Simplificar a expressão dentro da integral. No numerador temos
e no denominador
, logo podemos cancelar o fator
(lembrando que
, então
):
Passo 6
Integrar em
. A integral de
é o logaritmo natural, portanto
onde
é constante de integração. Como
temos
, então o valor absoluto não é necessário e podemos escrever
.
Passo 7
Voltar à variável
(substituição reversa). Como
,
Passo 8
Confirmação por diferenciação (verificar que a derivada da primitiva é o integrando). Seja
Calculamos
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
, que é
. Assim,
Isso coincide exatamente com o integrando, confirmando a primitiva.