Determine a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 48 cm .

Passo 1

O enunciado pede para achar a área máxima de um retângulo cujo perímetro é fixo e igual a 48 cm.
Conteúdo: otimização de função quadrática (ou via derivada) sujeita a uma restrição de perímetro.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo (em cm). O perímetro é
2(x + y) = 48
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x + y = 24 \quad\Longrightarrow\quad y = 24 - x.

Passo 3

A área do retângulo é
A = x \, y.
Substituindo a expressão de y, obtemos a função de uma só variável:
A(x) = x\,(24 - x) = 24x - x^2.

Passo 4

Para encontrar o valor de x que maximiza A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 24 - 2x,
A'(x) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 24 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 12.
Como
A''(x) = -2 < 0,
essa solução corresponde a um máximo local.

Passo 5

Substituindo x = 12 em y = 24 - x y = 12. A área máxima é então
A_{\max} = 12 \times 12 = 144.

Resposta

A área máxima que pode ter o retângulo é 144\text{ cm}^2.

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