Determine a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 48 cm .
Passo 1
O enunciado pede para achar a área máxima de um retângulo cujo perímetro é fixo e igual a 48 cm.
Conteúdo: otimização de função quadrática (ou via derivada) sujeita a uma restrição de perímetro.
Conteúdo: otimização de função quadrática (ou via derivada) sujeita a uma restrição de perímetro.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo (em cm). O perímetro é
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Passo 3
A área do retângulo é
Substituindo a expressão de
, obtemos a função de uma só variável:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como
essa solução corresponde a um máximo local.
Passo 5
Substituindo
em
dá
. A área máxima é então
Resposta
A área máxima que pode ter o retângulo é
.