Determine o valor de k para que a parábola correspondente à funçảo quadrática g, sabendo que g(x)=(k+2) x^{2}+\left(k^{2}-3\right) x+5 admita valor máximo em x=3. Nessas condições, obtenha o valor máximo da função.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
g(x) = (k+2)x^2 + (k^2 - 3)x + 5
e pede o valor de k para que ela admita valor máximo em x=3.
Para isso usamos dois fatos:
  1. O vértice de uma parábola ax^2+bx+c ocorre em
x_v = -\frac{b}{2a}.
  1. Para que haja máximo, a parábola deve ser côncava para baixo, isto é, a<0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes de g:
a = k+2, \quad b = k^2 - 3.
Como queremos o vértice em x_v=3, impomos
-\frac{b}{2a} = 3 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{k^2 - 3}{2(k+2)} = 3.

Passo 3

Resolvendo
-\frac{k^2 - 3}{2(k+2)} = 3 \quad\Longrightarrow\quad k^2 - 3 = -6(k+2) \quad\Longrightarrow\quad k^2 + 6k + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (k+3)^2 = 0,
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k = -3.

Passo 4

Verificamos a concavidade para máximo:
a = k+2 = -3 + 2 = -1 < 0.
Como a<0, a parábola abre para baixo e tem mesmo um valor máximo.

Passo 5

Para obter o valor máximo calculamos g(3) com k=-3:
g(3) = ( -1)\cdot 3^2 + (9-3)\cdot 3 + 5 = -9 + 6\cdot 3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14.

Resposta

k = -3 e o valor máximo de g é 14.

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