Calcule o valor de t para que a função quadrática de lei f(x)=(6-4 t) x^{2}+4 x-6 tenha valor máximo quando a abscissa do vértice for igual a 1 . Em seguida, determine a ordenada do vértice.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = (6-4t)\,x^2 + 4x - 6
e pede que a abscissa do vértice seja 1. O conteúdo aqui é vértice de parábola: para uma quadrática ax^2+bx+c, a abscissa do vértice é
x_v = -\frac{b}{2a}.

Passo 2

Identificamos a = 6-4t e b = 4. Impondo x_v = 1, temos
-\frac{b}{2a} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{4}{2\,(6-4t)} = 1.

Passo 3

Resolvendo a equação
-\frac{4}{12 - 8t} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -4 = 12 - 8t \quad\Longrightarrow\quad 8t = 16 \quad\Longrightarrow\quad t = 2.

Passo 4

Com t = 2, o coeficiente a = 6 - 4\cdot2 = -2, e a parábola é côncava para baixo (há máximo). A ordenada do vértice é
y_v = f(1) = (6 - 4\cdot2)\cdot1^2 + 4\cdot1 - 6 = -2 + 4 - 6 = -4.

Resposta

t = 2
A ordenada do vértice é -4.

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