Determine a área do paralelogramo A B C D sendo \overrightarrow{A C}=(-1,1,0) e \overrightarrow{A B}= (0,1,3).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações dadas):
Vetor \overrightarrow{A C} = (-1,1,0).
Vetor \overrightarrow{A B} = (0,1,3).
Pede: determinar a área do paralelogramo A B C D.
Passo 2
Relação entre vetores num paralelogramo (informação útil para montar os lados): em um paralelogramo com vértices A,B,C,D dispostos nessa ordem, o vetor diagonal \overrightarrow{A C} é a soma dos vetores dos lados adjacentes a A:
Fórmula que usamos para a área: a área de um paralelogramo gerado por dois vetores adjacentes \vec{u} e \vec{v} é igual ao módulo do produto vetorial entre eles:
\text{Área}=\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Á
Aqui \|\cdot\| denota o comprimento (módulo) de um vetor, e o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor cuja magnitude vale \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta, sendo \theta o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Geometricamente \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta é justamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Portanto, para nosso paralelogramo podemos usar
Como verificação rápida, se tivesse calculado \overrightarrow{A C}\times\overrightarrow{A B} (outro caminho possível) obteria um vetor oposto (3,3,-1) cuja norma é a mesma, também \sqrt{19}. Número aproximado para intuição: \sqrt{19}\approx 4{,}3589.