Determine a área do paralelogramo A B C D sendo \overrightarrow{A C}=(-1,1,0) e \overrightarrow{A B}= (0,1,3).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações dadas):
  • Vetor \overrightarrow{A C} = (-1,1,0).
  • Vetor \overrightarrow{A B} = (0,1,3).
  • Pede: determinar a área do paralelogramo A B C D.

Passo 2

Relação entre vetores num paralelogramo (informação útil para montar os lados): em um paralelogramo com vértices A,B,C,D dispostos nessa ordem, o vetor diagonal \overrightarrow{A C} é a soma dos vetores dos lados adjacentes a A:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}.
Dessa igualdade segue que
\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}.
Agora substituo os vetores numéricos dados:
\overrightarrow{A D}=(-1,1,0)-(0,1,3).
Calculo componente a componente:
\overrightarrow{A D}=(-1-0,\;1-1,\;0-3)=(-1,0,-3).

Passo 3

Fórmula que usamos para a área: a área de um paralelogramo gerado por dois vetores adjacentes \vec{u} e \vec{v} é igual ao módulo do produto vetorial entre eles:
\text{Área}=\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Á
Aqui \|\cdot\| denota o comprimento (módulo) de um vetor, e o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor cuja magnitude vale \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta, sendo \theta o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Geometricamente \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta é justamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Portanto, para nosso paralelogramo podemos usar
\text{Área}=\|\overrightarrow{A B}\times\overrightarrow{A D}\|.Á

Passo 4

Fórmula prática do produto vetorial em coordenadas: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\times\vec{v}=(\,u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\,).
Vou aplicar essa fórmula com \vec{u}=\overrightarrow{A B}=(0,1,3) e \vec{v}=\overrightarrow{A D}=(-1,0,-3).

Passo 5

Cálculo do produto vetorial componente a componente:
  • Primeira componente:
u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot(-3)-3\cdot 0 = -3.
  • Segunda componente:
u_3v_1-u_1v_3 = 3\cdot(-1)-0\cdot(-3) = -3.
  • Terceira componente:
u_1v_2-u_2v_1 = 0\cdot 0 - 1\cdot(-1) = 1.
Portanto
\overrightarrow{A B}\times\overrightarrow{A D}=(-3,-3,1).

Passo 6

Agora o módulo desse vetor dá a área. O módulo de \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aplicando a \vec{w}=(-3,-3,1):
\|\overrightarrow{A B}\times\overrightarrow{A D}\|=\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}.
Como verificação rápida, se tivesse calculado \overrightarrow{A C}\times\overrightarrow{A B} (outro caminho possível) obteria um vetor oposto (3,3,-1) cuja norma é a mesma, também \sqrt{19}. Número aproximado para intuição: \sqrt{19}\approx 4{,}3589.

Resposta

\sqrt{19}

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