Determine a área da parte do paraboloide
que está entre os planos
. Esboce a região de integração e a região da superfície correspondente a área calculada.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide
entre os planos
e
. Este é um problema de área de superfície de um grafo
. A fórmula é
.
A projeção no plano
é o anel onde
A projeção
, ou seja, em coordenadas polares
.
Esboce no plano dois círculos de raio
e
e, na superfície, a faixa do paraboloide entre as alturas
e
.
Esboce no plano
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
logo
Em polares a área fica
.
Passo 3
Para a integral em
usamos a substituição
, de modo que
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
Multiplicando por
obtemos