Determine a área da parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está entre os planos z=4 e z=9. Esboce a região de integração e a região da superfície correspondente a área calculada.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide ;z=x^2+y^2; entre os planos ;z=4 e ;z=9. Este é um problema de área de superfície de um grafo z=f(x,y). A fórmula é
S = integral duplaOmega raiz1 + fx^2 + fy^2,dA
.
A projeção Omega no plano xy é o anel onde
4 <= x^2 + y^2 <= 9
, ou seja, em coordenadas polares ;2 <= r <= 3,;0<=theta<=2pi.
Esboce no plano xy dois círculos de raio 2 e 3 e, na superfície, a faixa do paraboloide entre as alturas z=4 e z=9.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx = 2x, fy = 2y,
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raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4r^2
Em polares a área fica
S = integral0^2pi!integral2^3 raiz1 + 4r^2;r,dr,dtheta
.

Passo 3

Para a integral em r usamos a substituição u = 1 + 4r^2, de modo que du = 8r,dr e r,dr = du/8. Quando r=2, u=17; quando r=3, u=37. Assim,
integral2^3 r raiz1 + 4r^2,dr = 18integral17^37 u^1/2,du = 18cdot23l[u^3/2r]17^37 = 112l(37^3/2 - 17^3/2r)
Multiplicando por integral0^2pidtheta = 2pi obtemos
S = pi6l(37^3/2 - 17^3/2r)

Resposta

S = pi6l(37^3/2 - 17^3/2r)

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