Resolva as equações: c y'' + 2 y' + y = 4 e^x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Nesta questão, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa equação é chamada de homogênea porque o lado direito é igual a zero.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla .

Passo 4

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação original . Observando o lado direito , fazemos uma suposição de que a solução particular tem a forma , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo por :
Portanto, a solução particular é .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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