Resolva as equações:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Nesta questão, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa equação é chamada de homogênea porque o lado direito é igual a zero.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar. Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo a equação quadrática:
Encontramos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação original
. Observando o lado direito
, fazemos uma suposição de que a solução particular tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Dividindo por
:
Portanto, a solução particular é
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.