Determine a área de um quadrado de:
diagonal 4x.
diagonal 4x.
Passo 1
O enunciado dá um quadrado cuja diagonal vale
. O que ele pede é a área desse quadrado em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A diagonal do quadrado é
. - Quer-se a área do quadrado, que vou chamar de
.
Passo 2
Relacionamento geométrico essencial (explicação didática): ao traçar a diagonal de um quadrado, ela forma dois triângulos retângulos congruentes. Se o lado do quadrado for
, então cada triângulo tem catetos de comprimento
e hipotenusa igual à diagonal
.
Teorema que vamos usar (Teorema de Pitágoras): em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em linguagem simbólica, para catetos
e
e hipotenusa
:
Exemplo rápido para fixar a ideia: num triângulo retângulo com catetos
e
, a hipotenusa é
porque
.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado pela diagonal e pelos lados do quadrado:
Aqui
é a diagonal e
é o comprimento do lado do quadrado. Agora isolamos
. Primeiro:
Tomando a raiz quadrada (comprimento é positivo):
Passo 4
Substituir a diagonal dada
para obter o lado
em função de
:
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por
(ou reconhecendo que
):
Passo 5
Agora a área do quadrado é o lado ao quadrado. Escrever a expressão sem ainda simplificar totalmente:
Passo 6
Método alternativo e atalho (útil na prova): da relação
segue-se que a área
pode ser escrita diretamente em função de
como
Substituindo
nesta fórmula alternativa:
Passo 7
Breve explicação das operações que faltam (para fazer na prova sem calculadora): nas expressões
e
basta aplicar as regras de potência e multiplicação de constantes para obter a forma final simplificada.