Determine a área de um quadrado de:
diagonal 4x.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado cuja diagonal vale \,4x. O que ele pede é a área desse quadrado em função de \,x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A diagonal do quadrado é \,d=4x.
  • Quer-se a área do quadrado, que vou chamar de \,A.

Passo 2

Relacionamento geométrico essencial (explicação didática): ao traçar a diagonal de um quadrado, ela forma dois triângulos retângulos congruentes. Se o lado do quadrado for \,s, então cada triângulo tem catetos de comprimento \,s e hipotenusa igual à diagonal \,d.
Teorema que vamos usar (Teorema de Pitágoras): em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Em linguagem simbólica, para catetos \,a e \,b e hipotenusa \,c:
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Exemplo rápido para fixar a ideia: num triângulo retângulo com catetos \,3 e \,4, a hipotenusa é \,5 porque 5^{2}=3^{2}+4^{2}.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado pela diagonal e pelos lados do quadrado:
d^{2}=s^{2}+s^{2}=2s^{2}.
Aqui \,d é a diagonal e \,s é o comprimento do lado do quadrado. Agora isolamos \,s. Primeiro:
s^{2}=\frac{d^{2}}{2}.
Tomando a raiz quadrada (comprimento é positivo):
s=\sqrt{\frac{d^{2}}{2}}=\frac{d}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Substituir a diagonal dada \,d=4x para obter o lado \,s em função de \,x:
s=\frac{4x}{\sqrt{2}}.
Simplificando a fração multiplicando numerador e denominador por \,\sqrt{2} (ou reconhecendo que \,\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}):
s=4x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\,x.

Passo 5

Agora a área do quadrado é o lado ao quadrado. Escrever a expressão sem ainda simplificar totalmente:
A=s^{2}=(2\sqrt{2}\,x)^{2}.

Passo 6

Método alternativo e atalho (útil na prova): da relação d^{2}=2s^{2} segue-se que a área A=s^{2} pode ser escrita diretamente em função de d como
A=\frac{d^{2}}{2}.
Substituindo d=4x nesta fórmula alternativa:
A=\frac{(4x)^{2}}{2}.

Passo 7

Breve explicação das operações que faltam (para fazer na prova sem calculadora): nas expressões (2\sqrt{2}\,x)^{2} e \dfrac{(4x)^{2}}{2} basta aplicar as regras de potência e multiplicação de constantes para obter a forma final simplificada.

Resposta

\,8x^{2}

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