Determine a área do quadrado inscrito:
em um círculo de raio 2 cm ;
em um círculo de raio 2 cm ;
Passo 1
O enunciado pede a área do quadrado inscrito em um círculo de raio
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Raio do círculo:
. - O quadrado é inscrito no círculo, ou seja, todos os quatro vértices do quadrado estão sobre a circunferência.
O que devemos encontrar:
- A área do quadrado (em
).
Passo 2
Entendimento geométrico essencial (explicação didática): quando um quadrado está inscrito em um círculo e seus vértices tocam a circunferência, a diagonal do quadrado passa pelo centro do círculo e liga dois pontos da circunferência opostos. Logo, a diagonal do quadrado tem comprimento igual ao diâmetro do círculo.
Definições e notação:
- Seja
o comprimento do lado do quadrado (em ). - Seja
o comprimento da diagonal do quadrado (em ). - Como a diagonal liga dois pontos opostos da circunferência, temos
.
Passo 3
Relação entre lado e diagonal do quadrado (aula curta): num quadrado, a diagonal forma um triângulo retângulo cujos catetos são dois lados do quadrado. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado por dois lados
e a diagonal
, obtemos:
Dessa equação podemos isolar
:
Aqui
é o comprimento da diagonal e
o comprimento do lado; o Teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos — é isso que usamos.
Passo 4
Calcular
a partir do raio dado: como
e
,
Agora calcular
usando
:
Simplificando a fração (racionalizando ou dividindo):
Passo 5
Calcular a área do quadrado (aula curta sobre área): a área
de um quadrado de lado
é
Substituindo
,
Observação alternativa (atalho útil para prova): como
, pode-se calcular diretamente
. Com
isso dá
.