Determine a área do quadrado inscrito:
em um círculo de raio 2 cm ;

Passo 1

O enunciado pede a área do quadrado inscrito em um círculo de raio 2\\ \text{cm}.
Informações dadas:
  • Raio do círculo: r=2\\ \text{cm}.
  • O quadrado é inscrito no círculo, ou seja, todos os quatro vértices do quadrado estão sobre a circunferência.
O que devemos encontrar:
  • A área do quadrado (em \text{cm}^2).

Passo 2

Entendimento geométrico essencial (explicação didática): quando um quadrado está inscrito em um círculo e seus vértices tocam a circunferência, a diagonal do quadrado passa pelo centro do círculo e liga dois pontos da circunferência opostos. Logo, a diagonal do quadrado tem comprimento igual ao diâmetro do círculo.
Definições e notação:
  • Seja s o comprimento do lado do quadrado (em \text{cm}).
  • Seja d o comprimento da diagonal do quadrado (em \text{cm}).
  • Como a diagonal liga dois pontos opostos da circunferência, temos d=2r.

Passo 3

Relação entre lado e diagonal do quadrado (aula curta): num quadrado, a diagonal forma um triângulo retângulo cujos catetos são dois lados do quadrado. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado por dois lados s e a diagonal d, obtemos:
d^2 = s^2 + s^2 = 2s^2.
Dessa equação podemos isolar s:
s^2=\frac{d^2}{2} \quad\Rightarrow\quad s=\frac{d}{\sqrt{2}}.
Aqui d é o comprimento da diagonal e s o comprimento do lado; o Teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos — é isso que usamos.

Passo 4

Calcular d a partir do raio dado: como d=2r e r=2\\ \text{cm},
d=2\cdot 2 = 4\\ \text{cm}.
Agora calcular s usando s=\dfrac{d}{\sqrt{2}}:
s=\frac{4}{\sqrt{2}}.
Simplificando a fração (racionalizando ou dividindo):
s=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a área do quadrado (aula curta sobre área): a área A de um quadrado de lado s é
A=s^2.
Substituindo s=2\sqrt{2},
A=(2\sqrt{2})^2 = 4\cdot 2 = 8\\ \text{cm}^2.
Observação alternativa (atalho útil para prova): como s^2=\dfrac{d^2}{2}, pode-se calcular diretamente A=\dfrac{d^2}{2}. Com d=4 isso dá A=\dfrac{16}{2}=8\\ \text{cm}^2.

Resposta

\,8\\ \text{cm}^2

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