Um retângulo possui perímetro e área medindo, respectivamente, 16 \sqrt{5} \mathrm{~cm} e 55 \mathrm{~cm}^{2}. Quais são suas dimensões?

Passo 1

O enunciado pede: determinar as dimensões (os dois lados) de um retângulo sabendo que seu perímetro mede 16\sqrt{5}\\ \text{cm} e sua área mede 55\\ \text{cm}^2.
Informações fornecidas:
  • Perímetro: 16\sqrt{5}\\ \text{cm}.
  • Área: 55\\ \text{cm}^2.
Observação sobre a figura enviada: há uma imagem de um retângulo inclinado (ver seção de imagens no final). Não é preciso nada mais além dos dois dados acima para resolver o problema.

Passo 2

Vamos chamar as dimensões do retângulo de x e y, onde x e y são os comprimentos dos lados em centímetros (ambos positivos).
Relações que valem para um retângulo:
  • Perímetro: é a soma de todos os lados, logo 2(x+y) é o perímetro. Assim,
2(x+y)=16\sqrt{5}.
  • Área: é o produto dos lados, logo
x\cdot y=55.

Passo 3

Simplifico a equação do perímetro para obter a soma dos lados:
x+y= \frac{16\sqrt{5}}{2}=8\sqrt{5}.
Então conhecemos a soma x+y\) e o produto \(xy\): \[\begin{cases} x+y=8\sqrt{5},\\[4pt] xy=55. \end{cases}
Para encontrar x\] e \(y monto o polinômio cujo coeficientes vêm da soma e produto (essa é uma forma prática: se t é uma raiz, então t^2-(\text{soma})t+(\text{produto})=0). Assim consideramos a equação quadrática
t^2-(8\sqrt{5})t+55=0,
cujas raízes serão exatamente x e y.]

Passo 4

Vou resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
t^2 - (8\sqrt{5})t + 55 = 0,
temos coeficientes a=1, b=-8\sqrt{5}, c=55. A fórmula dá
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Calculo o discriminante:
b^2-4ac = ( -8\sqrt{5} )^2 - 4\cdot1\cdot55 = 64\cdot5 - 220 = 320-220=100.
Portanto \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{100}=10.
Logo
t=\frac{-(-8\sqrt{5})\pm 10}{2}=\frac{8\sqrt{5}\pm 10}{2}.
Dividindo por 2:
t=4\sqrt{5}\pm 5.

Passo 5

As duas soluções são
t_1=4\sqrt{5}+5,\qquad t_2=4\sqrt{5}-5.
Como 4\sqrt{5}\approx 8{,}944, temos t_1\approx 13{,}944>0 e t_2\approx 3{,}944>0, ambas positivas, então são comprimentos válidos.
Verificação rápida (raciocínio útil na prova):
  • Soma: (4\sqrt{5}+5)+(4\sqrt{5}-5)=8\sqrt{5} — confere o perímetro.
  • Produto: (4\sqrt{5}+5)(4\sqrt{5}-5)=(4\sqrt{5})^2-5^2=16\cdot5-25=80-25=55 — confere a área (uso diferença de quadrados).
Portanto as dimensões do retângulo são 4\sqrt{5}+5 cm e 4\sqrt{5}-5 cm.

Resposta

4\sqrt{5}+5\\ \text{cm}
4\sqrt{5}-5\\ \text{cm}

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