Um retângulo possui perímetro e área medindo, respectivamente,
e
. Quais são suas dimensões?
Passo 1
O enunciado pede: determinar as dimensões (os dois lados) de um retângulo sabendo que seu perímetro mede
e sua área mede
.
Informações fornecidas:
- Perímetro:
. - Área:
.
Observação sobre a figura enviada: há uma imagem de um retângulo inclinado (ver seção de imagens no final). Não é preciso nada mais além dos dois dados acima para resolver o problema.
Passo 2
Vamos chamar as dimensões do retângulo de
e
, onde
e
são os comprimentos dos lados em centímetros (ambos positivos).
Relações que valem para um retângulo:
- Perímetro: é a soma de todos os lados, logo
é o perímetro. Assim,
- Área: é o produto dos lados, logo
Passo 3
Simplifico a equação do perímetro para obter a soma dos lados:
Então conhecemos a soma
Para encontrar
monto o polinômio cujo coeficientes vêm da soma e produto (essa é uma forma prática: se
é uma raiz, então
). Assim consideramos a equação quadrática
cujas raízes serão exatamente
e
.]
Passo 4
Vou resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
temos coeficientes
,
,
. A fórmula dá
Calculo o discriminante:
Portanto
.
Logo
Dividindo por
:
Passo 5
As duas soluções são
Como
, temos
e
, ambas positivas, então são comprimentos válidos.
Verificação rápida (raciocínio útil na prova):
- Soma:
— confere o perímetro. - Produto:
— confere a área (uso diferença de quadrados).
Portanto as dimensões do retângulo são
cm e
cm.