Determine a área da região
no plano
limitada pela elipse inclinada
.
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva que limita a região
:
O que é pedido: determinar a área da região
no plano
limitada por essa elipse.
Passo 2
Observação útil (agora começamos a resolver): a equação envolve as expressões
e
. Isso sugere introduzir novas coordenadas que sejam exatamente essas combinações. Defina as variáveis
Substituindo na equação da elipse obtemos, em termos de
e
,
Passo 3
Interpretação da equação em
: a curva
é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo ao longo de
de comprimento
(pois quando
temos
) e semi-eixo ao longo de
de comprimento
(pois quando
temos
). A fórmula conhecida para a área de uma elipse com semi-eixos
e
é
Aplicando aqui,
Passo 4
Agora precisamos relacionar a área calculada no plano
com a área no plano
. A transformação linear
tem determinante
Regra do Jacobiano: o elemento de área transforma segundo o determinante da matriz da transformação linear. Mais precisamente, d
d
=
,d
d
. Assim a área em
é a área em
dividida por
. Ou seja,
Passo 5
Aplicando o resultado anterior: a área da região
no plano
é