Determine a área da região D no plano x y limitada pela elipse inclinada (x-y)^{2}+\frac{(x+y)^{2}}{9}=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva que limita a região D:
(x-y)^{2}+\frac{(x+y)^{2}}{9}=1.
O que é pedido: determinar a área da região D no plano xy limitada por essa elipse.

Passo 2

Observação útil (agora começamos a resolver): a equação envolve as expressões x-y e x+y. Isso sugere introduzir novas coordenadas que sejam exatamente essas combinações. Defina as variáveis
u = x - y,\qquad v = x + y.
Substituindo na equação da elipse obtemos, em termos de u e v,
u^{2}+\frac{v^{2}}{9}=1.

Passo 3

Interpretação da equação em (u,v): a curva
u^{2}+\frac{v^{2}}{9}=1
é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo ao longo de u de comprimento a=1 (pois quando v=0 temos u^{2}=1) e semi-eixo ao longo de v de comprimento b=3 (pois quando u=0 temos v^{2}=9). A fórmula conhecida para a área de uma elipse com semi-eixos a e b é
\text{área}_{uv}=\pi a b.á
Aplicando aqui,
\text{área}_{uv}=\pi\cdot 1\cdot 3=3\pi.á

Passo 4

Agora precisamos relacionar a área calculada no plano (u,v) com a área no plano (x,y). A transformação linear
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}
tem determinante
\det \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 2.
Regra do Jacobiano: o elemento de área transforma segundo o determinante da matriz da transformação linear. Mais precisamente, d ud v= |\det|,d xd y. Assim a área em (x,y) é a área em (u,v) dividida por |\det|. Ou seja,
\text{área}_{xy}=\frac{\text{área}_{uv}}{|\det|}.áá]

Passo 5

Aplicando o resultado anterior: a área da região D no plano xy é
\text{área}_{xy}=\frac{3\pi}{2}.á

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}

Exercícios relacionados