Calcule a integral
, sendo
o disco
.
(Dica: a fronteira é
)
(Dica: a fronteira é
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco dado por
. A dica informa que a fronteira em coordenadas polares é
.
Informações relevantes que temos:
- A função a integrar é
. - A região
é o disco . - Em coordenadas polares a fronteira é
(fornecido). - Precisamos transformar a integral para coordenadas polares e avaliar.
Passo 2
Troca para coordenadas polares — lembretes e justificativa didática:
- Em coordenadas polares usa-se
e . Aqui é a distância ao origem e é o ângulo. - A expressão
em polares é simplesmente , pois (como ). - O elemento de área
transforma-se em . Intuição rápida: um pequeno retângulo na grade polar tem área aproximada (é a área de um setor circular fino).
Portanto o integrandovira .
Passo 3
Determinar os limites de integração (descrição da região
em polares):
- A fronteira dada é
. Para que seja possível precisamos de , ou seja . - Para cada
nesse intervalo, varia de até .
Assim, em polares.
Passo 4
Montar a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Passo 6
Calcular a integral em
:
Usa-se que
é função par, logo
Calcule
por substituição
,
:
Portanto
Substituindo de volta:
Passo 7
Conclusão: o valor da integral é
.