Calcule a integral \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A, sendo D o disco x^{2}+y^{2} \leq 2 x.
(Dica: a fronteira é r=2 \cos \theta )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde D é o disco dado por x^{2}+y^{2}\le 2x. A dica informa que a fronteira em coordenadas polares é r=2\cos\theta.
Informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é o disco x^{2}+y^{2}\le 2x.
  • Em coordenadas polares a fronteira é r=2\cos\theta (fornecido).
  • Precisamos transformar a integral para coordenadas polares e avaliar.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — lembretes e justificativa didática:
  • Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo.
  • A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} em polares é simplesmente r, pois \sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (como r\ge0).
  • O elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Intuição rápida: um pequeno retângulo (dr,d\theta) na grade polar tem área aproximada r\,dr\,d\theta (é a área de um setor circular fino).
    Portanto o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA vira r\cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração (descrição da região D em polares):
  • A fronteira dada é r=2\cos\theta. Para que r\ge0 seja possível precisamos de \cos\theta\ge0, ou seja \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
  • Para cada \theta nesse intervalo, r varia de 0 até 2\cos\theta.
    Assim, em polares D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2\cos\theta,\\\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\}.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares:
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{\theta=-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=0}^{2\cos\theta} r^{2}\,dr =\left[\tfrac{1}{3}r^{3}\right]_{0}^{2\cos\theta} =\tfrac{1}{3}\,(2\cos\theta)^{3} =\tfrac{8}{3}\cos^{3}\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta:
\iint_{D}\cdots =\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}} \tfrac{8}{3}\cos^{3}\theta\,d\theta =\tfrac{8}{3}\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Usa-se que \cos^{3}\theta é função par, logo
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =2\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta.
Calcule \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta por substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\theta(1-\sin^{2}\theta)\,d\theta =\int_{u=0}^{1}(1-u^{2})\,du =\left[u-\tfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\,d\theta =2\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.
Substituindo de volta:
\tfrac{8}{3}\cdot \tfrac{4}{3}=\tfrac{32}{9}.

Passo 7

Conclusão: o valor da integral é \tfrac{32}{9}.

Resposta

\dfrac{32}{9}

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