Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
  1. r=raiz2 theta, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva no intervalo de que vai de 0 até . Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área A = 12 integrala^b r^2 , dtheta de uma região definida por uma curva entre dois ângulos e é:
Essa fórmula basicamente soma infinitas fatias angulares para obter a área total.

Passo 3

No nosso caso, a curva é A = 12 integral0^pi2 (raiz2 theta)^2 , dtheta e os limites de integração são de até . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que A = 12 integral0^pi2 2 theta , dtheta , então a integral fica:
A = integral0^pi2 theta , dtheta
Os 2 e integral theta , dtheta = theta^22 + C se cancelam, restando:
Para resolver essa integral, aplicamos a regra básica de integração:
Onde é a constante de integração, que neste caso não precisamos considerar.

Passo 5

Aplicando os limites de integração:
A = [ theta^22 ]0^pi2 = (pi2)^22 - 0^22 = pi^28

Resposta

A área da região delimitada pela curva é unidades de área.

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