Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva
no intervalo de
que vai de 0 até
. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área
de uma região definida por uma curva
entre dois ângulos
e
é:
Essa fórmula basicamente soma infinitas fatias angulares para obter a área total.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
e os limites de integração são de
até
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então a integral fica:
Os 2 e
se cancelam, restando:
Para resolver essa integral, aplicamos a regra básica de integração:
Onde
é a constante de integração, que neste caso não precisamos considerar.
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região delimitada pela curva é
unidades de área.