Determine o comprimento de arco do gráfico da equação dada, de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da equação
entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa expressar
em função de
para facilitar o cálculo. A equação dada é
. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora que temos
em função de
, vamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é importante porque a fórmula do comprimento do arco envolve essa derivada.
Passo 4
A fórmula para o comprimento do arco
de
a
é:
Vamos substituir
na fórmula:
Passo 5
Para simplificar a integral, vamos reescrever o termo dentro da raiz:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral. Para isso, podemos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Contudo, essa integral pode ser complexa e, na prática, é comum utilizar métodos numéricos ou ferramentas computacionais para calcular seu valor.
Passo 7
Calculando a integral numericamente, encontramos que o comprimento do arco
é aproximadamente:
Resposta
O comprimento do arco do gráfico da equação
de
a
é aproximadamente
unidades.