Determine a área da região que é delimitada pela curva fornecida e está localizada no setor especificado.
2. r=e^theta, 3 pi / 4 <= theta <= 3 pi / 2

Passo 1

Beleza! Então, a gente tem que encontrar a área da região delimitada pela curva no intervalo onde varia de até . Vamos usar conceitos de coordenadas polares e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta de uma região delimitada por uma curva entre os ângulos e é:
Nesse caso, , e .

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Primeiro, calculamos r^2 = (e^theta)^2 = e^2theta :
A = 12 integral3pi4^3pi2 e^2theta , dtheta
Agora, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar integral e^2theta , dtheta = 12 e^2theta + C em relação a A = 12 [ 12 e^2theta ]3pi4^3pi2 = 14 ( e^3pi - e^3pi2 ) . A integral de é , então aqui :
Agora, aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da região delimitada pela curva A = 14 ( e^3pi - e^3pi2 ) no intervalo de de a é:

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