Determine a área da região elíptica limitada por \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 usando a mudança x=a r \cos \theta e y=b r \operatorname{sen} \theta.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região plana limitada pela elipse dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Informação fornecida: sugerem-se as mudanças de variável
x = a r \cos\theta,\qquad y = b r \operatorname{sen}\theta.
Vou usar essas mudanças para transformar a integral de área na elipse numa integral mais simples em coordenadas (r,\theta). Neste passo não se resolve nada ainda — só enumerei o pedido e os dados.
Passo 2
Identificar o domínio em (r,\theta) que corresponde à região elíptica.
Substituindo x e y na equação da elipse:
\frac{(a r \cos\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b r \operatorname{sen}\theta)^{2}}{b^{2}} = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr)=r^{2}.
Como \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, a fronteira da elipse corresponde a r^{2}=1, ou seja r=1. Para cobrir toda a região interior da elipse, r varia de 0 a 1. O ângulo \theta deve percorrer um período completo para cobrir toda a elipse, logo \theta varia de 0 a 2\pi. Portanto o domínio em (r,\theta) é
0\le r\le1,\qquad 0\le\theta\le2\pi.
Passo 3
Calcular o fator de escala (Jacobiano) da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
A matriz jacobiana é a matriz das derivadas parciais
Como \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, obtemos
J(r,\theta)=ab\,r.
Observação didática: o Jacobiano mede como pequenas áreas em (r,\theta) são escaladas em (x,y); aqui vemos que um pequeno retângulo de área dr\,d\theta é transformado em área ab\,r\,dr\,d\theta.
Passo 4
Escrever a integral dupla que dá a área usando a mudança de variáveis.
A área A da região elíptica é a integral sobre a região D em (x,y) da função 1:
A=\iint_{D} 1\;dx\,dy.
Pela mudança de variáveis, isso vira uma integral sobre o domínio \{0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi\} em (r,\theta) multiplicada pelo valor absoluto do Jacobiano: