Determine a área da região elíptica limitada por \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 usando a mudança x=a r \cos \theta e y=b r \operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região plana limitada pela elipse dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Informação fornecida: sugerem-se as mudanças de variável
x = a r \cos\theta,\qquad y = b r \operatorname{sen}\theta.
Vou usar essas mudanças para transformar a integral de área na elipse numa integral mais simples em coordenadas (r,\theta). Neste passo não se resolve nada ainda — só enumerei o pedido e os dados.

Passo 2

Identificar o domínio em (r,\theta) que corresponde à região elíptica.
Substituindo x e y na equação da elipse:
\frac{(a r \cos\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b r \operatorname{sen}\theta)^{2}}{b^{2}} = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr)=r^{2}.
Como \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, a fronteira da elipse corresponde a r^{2}=1, ou seja r=1. Para cobrir toda a região interior da elipse, r varia de 0 a 1. O ângulo \theta deve percorrer um período completo para cobrir toda a elipse, logo \theta varia de 0 a 2\pi. Portanto o domínio em (r,\theta) é
0\le r\le1,\qquad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calcular o fator de escala (Jacobiano) da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
A matriz jacobiana é a matriz das derivadas parciais
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial\theta} \\\ [6pt] \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial\theta} \end{pmatrix}.
Calcular cada derivada (tudo em \TeX):
\frac{\partial x}{\partial r}=a\cos\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial\theta}=-a r\operatorname{sen}\theta,
\frac{\partial y}{\partial r}=b\operatorname{sen}\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial\theta}=b r\cos\theta.
O determinante (Jacobiano) é
J(r,\theta)=\det\begin{pmatrix} a\cos\theta & -a r\operatorname{sen}\theta \\\ b\operatorname{sen}\theta & b r\cos\theta \end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
J(r,\theta)= (a\cos\theta)(b r\cos\theta)-(-a r\operatorname{sen}\theta)(b\operatorname{sen}\theta) =ab r\bigl(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr).
Como \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1, obtemos
J(r,\theta)=ab\,r.
Observação didática: o Jacobiano mede como pequenas áreas em (r,\theta) são escaladas em (x,y); aqui vemos que um pequeno retângulo de área dr\,d\theta é transformado em área ab\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Escrever a integral dupla que dá a área usando a mudança de variáveis.
A área A da região elíptica é a integral sobre a região D em (x,y) da função 1:
A=\iint_{D} 1\;dx\,dy.
Pela mudança de variáveis, isso vira uma integral sobre o domínio \{0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi\} em (r,\theta) multiplicada pelo valor absoluto do Jacobiano:
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl|J(r,\theta)\bigr|\;dr\,d\theta.
Aqui J(r,\theta)=ab\,r é não negativo para r\ge0, então \bigl|J\bigr|=ab\,r. Assim
A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} ab\,r\;dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Separando constantes:
A=ab\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\;dr\,d\theta.
Primeiro integrar em r:
\int_{0}^{1} r\;dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Substituindo:
A=ab\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\;d\theta=ab\cdot\frac{1}{2}\cdot\left.\theta\right|_{0}^{2\pi}=ab\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\pi=ab\pi.
Comentário prático: se a=b=R recupera-se a área do círculo de raio R: A=\pi R^{2}, o que dá coerência ao resultado.

Resposta

\pi a b

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