Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável
tende a pela direita (isto é, e ). - A função considerada é
. - Para
o denominador é positivo e a raiz é sempre positiva.
Passo 2
Vamos primeiro entender qualitativamente o que acontece ao aproximar
de
pela direita. A expressão
é uma raiz de uma soma cujo termo constante é
, portanto quando
fica muito pequeno a raiz fica próxima de
, que é um número fixo e diferente de zero. Por outro lado, o denominador
tende a
pela direita. Assim, intuitivamente, estamos dividindo um número aproximadamente constante e não nulo por um número que vai para zero positivo, o que sugere que a razão cresce sem limite, ou seja, tende para
. A seguir faremos uma justificativa rigorosa desse comportamento.
Passo 3
Para uma prova rigorosa usaremos a definição de limite infinito: devemos mostrar que, dado qualquer número grande
, existe
tal que para todo
com
vale
Começamos por observar que, para todo
,
pois
implica
e a raiz quadrada é monótona crescente em argumentos não negativos.
Passo 4
Usando a desigualdade anterior, para
temos
Logo, se conseguirmos garantir
então automaticamente
.
Passo 5
Resolveremos a desigualdade
para
. Ela é equivalente a
Portanto, basta escolher
Com essa escolha, sempre que
teremos
e, por consequência,
.
Passo 6
Como a escolha de
funciona para qualquer
, concluímos pela definição de limite infinito que
Intuitivamente: o numerador fica próximo de
(não nulo) enquanto o denominador tende a
, fazendo a razão crescer sem limite.