Exercício 2. Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende a 0 pela direita (isto é, x>0 e x\to0).
  • A função considerada é \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}.
  • Para x>0 o denominador x é positivo e a raiz \sqrt{x^{2}+3} é sempre positiva.

Passo 2

Vamos primeiro entender qualitativamente o que acontece ao aproximar x de 0 pela direita. A expressão \sqrt{x^{2}+3} é uma raiz de uma soma cujo termo constante é 3, portanto quando x fica muito pequeno a raiz fica próxima de \sqrt{3}, que é um número fixo e diferente de zero. Por outro lado, o denominador x tende a 0 pela direita. Assim, intuitivamente, estamos dividindo um número aproximadamente constante e não nulo por um número que vai para zero positivo, o que sugere que a razão cresce sem limite, ou seja, tende para +\infty. A seguir faremos uma justificativa rigorosa desse comportamento.

Passo 3

Para uma prova rigorosa usaremos a definição de limite infinito: devemos mostrar que, dado qualquer número grande M>0, existe \delta>0 tal que para todo x com 0<x<\delta vale
\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}>M.
Começamos por observar que, para todo x,
\sqrt{x^{2}+3}\ge \sqrt{3},
pois x^{2}\ge0 implica x^{2}+3\ge3 e a raiz quadrada é monótona crescente em argumentos não negativos.

Passo 4

Usando a desigualdade anterior, para x>0 temos
\frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}\ge \frac{\sqrt{3}}{x}.
Logo, se conseguirmos garantir \dfrac{\sqrt{3}}{x}>M então automaticamente \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}>M.

Passo 5

Resolveremos a desigualdade \dfrac{\sqrt{3}}{x}>M para x>0. Ela é equivalente a
x<\frac{\sqrt{3}}{M}.
Portanto, basta escolher
\delta=\frac{\sqrt{3}}{M}.
Com essa escolha, sempre que 0<x<\delta teremos \dfrac{\sqrt{3}}{x}>M e, por consequência, \dfrac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}>M.

Passo 6

Como a escolha de \delta funciona para qualquer M>0, concluímos pela definição de limite infinito que
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}+3}}{x}=+\infty.
Intuitivamente: o numerador fica próximo de \sqrt{3} (não nulo) enquanto o denominador tende a 0^{+}, fazendo a razão crescer sem limite.

Resposta

+\infty

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