Determine a área da região interior ao círculo x^2+y^2=1 e à direita da reta x=12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região que está dentro do círculo dado por $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e que também está à direita da reta $ x = \frac{1}{2} $. Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a reta $ x = \frac{1}{2} $ corta o círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, substituímos $ x = \frac{1}{2} $ na equação do círculo:
x = 12
Calculando:
x^2 + y^2 = 1
Então, os pontos de interseção são $ \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ e $ \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.

Passo 3

Agora, para encontrar a área desejada, vamos integrar a função que representa a parte de cima do círculo, ou seja, $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $, desde $ x = \frac{1}{2} $ até $ x = 1 $. Como o círculo é simétrico em relação ao eixo x, multiplicaremos a integral por 2 para considerar tanto a parte de cima quanto a de baixo.
A fórmula da área será:
y = raiz1 - x^2 Á

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral raiz1 - x^2 , dx
Sabemos que:
integral raiz1 - x^2 , dx = x2 raiz1 - x^2 + 12 arcsin(x) + C
Aplicando os limites de integração de $ \frac{1}{2} $ a $ 1 $:
12
Calculando em $ x = 1 $:
1
Calculando em $ x = \frac{1}{2} $:
[ x2 raiz1 - x^2 + 12 arcsin(x) ]12^1
Subtraindo:
x = 1

Resposta

A área da região interior ao círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e à direita da reta $ x = \frac{1}{2} $ é:
x^2 + y^2 = 1 Áá

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