Determine a área da região interior ao círculo
e à direita da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região que está dentro do círculo dado por $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e que também está à direita da reta $ x = \frac{1}{2} $. Vamos usar conhecimentos de geometria e cálculo para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a reta $ x = \frac{1}{2} $ corta o círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $. Para isso, substituímos $ x = \frac{1}{2} $ na equação do círculo:
Calculando:
Então, os pontos de interseção são $ \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ e $ \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
Passo 3
Agora, para encontrar a área desejada, vamos integrar a função que representa a parte de cima do círculo, ou seja, $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $, desde $ x = \frac{1}{2} $ até $ x = 1 $. Como o círculo é simétrico em relação ao eixo x, multiplicaremos a integral por 2 para considerar tanto a parte de cima quanto a de baixo.
A fórmula da área será:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites de integração de $ \frac{1}{2} $ a $ 1 $:
Calculando em $ x = 1 $:
Calculando em $ x = \frac{1}{2} $:
Subtraindo:
Resposta
A área da região interior ao círculo $ x^{2} + y^{2} = 1 $ e à direita da reta $ x = \frac{1}{2} $ é: