Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas
e
.
Passo 1
Resumo do problema: queremos esboçar as curvas
(parábola) e
(reta), identificar a região limitada por elas e calcular sua área usando integração. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção, verificar qual função fica acima da outra e montar a integral definida da diferença entre as curvas.
Passo 2
Esboço das curvas: a parábola
é voltada para baixo com vértice em
, enquanto a reta
tem coeficiente angular 1 e intercepta o eixo
em
. Depois de marcar os pontos de interseção (que vamos determinar no próximo passo) entre
e
, sombreie a região entre as duas curvas para visualizar onde integraremos.
Passo 3
Determinar os pontos de interseção resolvendo a equação
o que leva a
Passo 4
Verificar qual curva é superior no intervalo
: avaliando em
, temos
e
, então
fica acima de
nesse intervalo. Isso valida usar a diferença
na integral.
Passo 5
Montar a integral da diferença entre as funções de
a
:
Uma antiderivada de
Passo 6
Avaliar
nos limites:
Logo, a diferença
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
.