Esboce e determine a área da região delimitada pelos traçados das curvas y=3-x^2 e y=x+1.

Passo 1

Resumo do problema: queremos esboçar as curvas y = 3 - x^2 (parábola) e y = x + 1 (reta), identificar a região limitada por elas e calcular sua área usando integração. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção, verificar qual função fica acima da outra e montar a integral definida da diferença entre as curvas.

Passo 2

Esboço das curvas: a parábola y = 3 - x^2 é voltada para baixo com vértice em (0,3), enquanto a reta y = x + 1 tem coeficiente angular 1 e intercepta o eixo y em (0,1). Depois de marcar os pontos de interseção (que vamos determinar no próximo passo) entre (-2,-1) e (1,2), sombreie a região entre as duas curvas para visualizar onde integraremos.

Passo 3

Determinar os pontos de interseção resolvendo a equação
3 - x^2 = x + 1
o que leva a x^2 + x - 2 = 0. Fatorando: (x+2)(x-1)=0, logo x = -2 ou x = 1. Substituindo em uma das funções, obtemos os pontos (-2,-1) e (1,2).

Passo 4

Verificar qual curva é superior no intervalo [-2,1]: avaliando em x=0, temos 3 - 0^2 = 3 e 0 + 1 = 1, então y = 3 - x^2 fica acima de y = x + 1 nesse intervalo. Isso valida usar a diferença (3 - x^2) - (x + 1) na integral.

Passo 5

Montar a integral da diferença entre as funções de x=-2 a x=1:
integral-2^1 l[(3 - x^2) - (x + 1)r]dx = integral-2^1 (-x^2 - x + 2),dx
Uma antiderivada de -x^2 - x + 2 é
F(x) = -x^33 - x^22 + 2x

Passo 6

Avaliar F(x) nos limites:
F(1) = -tfrac13 - tfrac12 + 2 = tfrac76, F(-2) = -l(-tfrac83r) - 2 - 4 = -tfrac103
Logo, a diferença F(1) - F(-2) = tfrac76 - l(-tfrac103r) = tfrac276 = tfrac92

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é tfrac92.

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