Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1}
Usa-se obrigatoriamente a Regra de L’Hôpital. Informação dada: a expressão é uma razão de duas funções envolvendo raízes quadradas. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a 1?

Passo 2

Primeiro cheque o valor da forma indefinida ao substituir x=1. Calcule o numerador e o denominador em x=1:
\sqrt{5-1}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0
\sqrt{2-1}-1=\sqrt{1}-1=1-1=0
Portanto a forma é \displaystyle\frac{0}{0}, ou seja, \displaystyle\frac{0}{0}. Isso confirma que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam num entorno de 1).

Passo 3

Expliquei por que a Regra de L’Hôpital se aplica: quando temos uma razão que tende a \displaystyle\frac{0}{0} (ou \displaystyle\frac{\infty}{\infty}) podemos, sob condições de diferenciabilidade das duas funções na vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), trocar o limite da razão pelo limite da razão das derivadas:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista. Aqui f(x)=\sqrt{5-x}-2 e g(x)=\sqrt{2-x}-1. Vamos calcular f'(x) e g'(x).

Passo 4

Derivando o numerador passo a passo. Escrevemos a raiz como potência para usar a regra da cadeia:
f(x)= (5-x)^{1/2}-2.
Defina u(x)=5-x. Então f(x)=u(x)^{1/2}-2. A derivada da função u^{1/2} em relação a x usa a regra da cadeia:
a derivada de u^{1/2} em relação a u é \dfrac{1}{2}u^{-1/2} e a derivada de u(x) em relação a x é u'(x)=-1. Assim,
f'(x)=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x)=\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.
Expliquei: \sqrt{5-x}=(5-x)^{1/2}, e dividir por 2\sqrt{5-x} vem diretamente da regra da cadeia.

Passo 5

Derivando o denominador do mesmo modo. Escrevemos
g(x)=(2-x)^{1/2}-1.
Defina v(x)=2-x. A derivada de v^{1/2} é \dfrac{1}{2}v^{-1/2} e v'(x)=-1. Então
g'(x)=\frac{1}{2}(2-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}.

Passo 6

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital: o limite original é igual ao limite da razão das derivadas (se existir):
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{5-x}-2}{\sqrt{2-x}-1} =\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 1}\frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{5-x}}}{-\dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}}.
Observe que os sinais negativos e o fator \dfrac{1}{2} vão simplificar, mas vamos fazer isso passo a passo.

Passo 7

Simplificando a expressão da razão das derivadas:
\frac{-\dfrac{1}{2\sqrt{5-x}}}{-\dfrac{1}{2\sqrt{2-x}}} =\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\cdot\frac{2\sqrt{2-x}}{1} =\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{5-x}}.
Então o limite reduz-se a
\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{5-x}}.
Agora é seguro fazer a substituição direta, pois não obtemos forma indefinida.

Passo 8

Substitua x=1 na expressão simplificada:
\frac{\sqrt{2-1}}{\sqrt{5-1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{2}. Boa! Você sobreviveu à L’Hôpital — a ideia principal é transformar a forma \displaystyle\frac{0}{0} numa razão de derivadas mais simples.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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