Calcular se existirem, os seguintes limites (Usando a Regra de L’Hôspital).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Usa-se obrigatoriamente a Regra de L’Hôpital. Informação dada: a expressão é uma razão de duas funções envolvendo raízes quadradas. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende a
?
Passo 2
Primeiro cheque o valor da forma indefinida ao substituir
. Calcule o numerador e o denominador em
:
Portanto a forma é
, ou seja,
. Isso confirma que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam num entorno de
).
Passo 3
Expliquei por que a Regra de L’Hôpital se aplica: quando temos uma razão que tende a
(ou
) podemos, sob condições de diferenciabilidade das duas funções na vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), trocar o limite da razão pelo limite da razão das derivadas:
desde que o limite à direita exista. Aqui
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 4
Derivando o numerador passo a passo. Escrevemos a raiz como potência para usar a regra da cadeia:
Defina
. Então
. A derivada da função
em relação a
usa a regra da cadeia:
a derivada de em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
. Assim,
a derivada de
Expliquei:
, e dividir por
vem diretamente da regra da cadeia.
Passo 5
Derivando o denominador do mesmo modo. Escrevemos
Defina
. A derivada de
é
e
. Então
Passo 6
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital: o limite original é igual ao limite da razão das derivadas (se existir):
Observe que os sinais negativos e o fator
vão simplificar, mas vamos fazer isso passo a passo.
Passo 7
Simplificando a expressão da razão das derivadas:
Então o limite reduz-se a
Agora é seguro fazer a substituição direta, pois não obtemos forma indefinida.
Passo 8
Substitua
na expressão simplificada:
Portanto o limite existe e vale
. Boa! Você sobreviveu à L’Hôpital — a ideia principal é transformar a forma
numa razão de derivadas mais simples.