Calcule a integral indefinida.
\int 2 x\left(x^{2}+3\right)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}\,dx.
Dado: a função integranda é 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}. Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=2x\left(x^{2}+3\right)^{4}. Não há outras condições nem limites — é uma integral indefinida.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da integranda: dentro do parêntese temos \left(x^{2}+3\right) elevado à quarta potência, e fora temos um fator 2x. Note que a derivada de x^{2}+3 em relação a x é exatamente 2x. Vou aproveitar essa coincidência para simplificar a integral com uma troca de variável (substituição). Antes, vamos relembrar a regra que usamos aqui:
Regra da cadeia (intuição simples): se uma função tem a forma (g(x))^{n}, a derivada é n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x). Analogamente, ao integrar algo do tipo g'(x)\,(g(x))^{n-1} conseguimos recuperar (g(x))^{n}/n. É por isso que procurar g'(x) dentro da integranda é útil.

Passo 3

Fazendo a substituição apropriada. Definimos
u = x^{2}+3.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x temos
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Isso é perfeito: o pedaço 2x\,dx da integral corresponde exatamente a du. Portanto podemos reescrever a integral em termos de u. Substituindo,
\int 2x\left(x^{2}+3\right)^{4}\,dx = \int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos \int u^{4}\,du. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=4, então
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
(Conferência rápida: derivando \dfrac{u^{5}}{5} obtemos \dfrac{5u^{4}}{5}=u^{4}, portanto está correto.)

Passo 5

Volta à variável original substituindo u=x^{2}+3:
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{\left(x^{2}+3\right)^{5}}{5} + C.
Para verificar, podemos derivar essa expressão em x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^{2}+3\right)^{5}}{5}\right) = \frac{5\left(x^{2}+3\right)^{4}\cdot 2x}{5} = 2x\left(x^{2}+3\right)^{4},
que é exatamente a integranda original. Tudo confere.

Resposta

\dfrac{\left(x^{2}+3\right)^{5}}{5}+C

Exercícios relacionados