Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Dado: a função integranda é
. Pedido: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que
. Não há outras condições nem limites — é uma integral indefinida.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da integranda: dentro do parêntese temos
elevado à quarta potência, e fora temos um fator
. Note que a derivada de
em relação a
é exatamente
. Vou aproveitar essa coincidência para simplificar a integral com uma troca de variável (substituição). Antes, vamos relembrar a regra que usamos aqui:
Regra da cadeia (intuição simples): se uma função tem a forma
, a derivada é
. Analogamente, ao integrar algo do tipo
conseguimos recuperar
. É por isso que procurar
dentro da integranda é útil.
Passo 3
Fazendo a substituição apropriada. Definimos
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
Isso é perfeito: o pedaço
da integral corresponde exatamente a
. Portanto podemos reescrever a integral em termos de
. Substituindo,
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
(Conferência rápida: derivando
obtemos
, portanto está correto.)
Passo 5
Volta à variável original substituindo
:
Para verificar, podemos derivar essa expressão em
:
que é exatamente a integranda original. Tudo confere.