Determine a área da região limitada pelas curvas y = \cos 2x e y = \sin x no intervalo [0, \pi/2].
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\cos 2x e y=\sin x no intervalo [0,\pi/2].
Informações dadas e perguntas a responder:
As duas curvas são y=\cos 2x e y=\sin x.
Estamos interessados apenas para x em [0,\pi/2].
Precisamos encontrar a área da região limitada por essas curvas nesse intervalo (ou seja, integrar a diferença entre a função superior e a inferior, cuidando dos pontos de interseção).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção dentro de [0,\pi/2] resolvendo
\cos 2x = \sin x.
Para resolver essa equação uso a identidade de ângulo duplo em termos de \sin x:
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
Substituindo na igualdade:
1 - 2\sin^2 x = \sin x.
Reescrevendo em forma de equação quadrática em s=\sin x:
2s^2 + s - 1 = 0.
Resolvo a quadrática usando fórmula de Bhaskara:
s = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
Obtenho s = \dfrac{1}{2} ou s = -1. Como \sin x em [0,\pi/2] varia entre 0 e 1, apenas s=\dfrac{1}{2} é admissível. Logo
\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}
no intervalo dado. Portanto há um único ponto de interseção relevante: x=\dfrac{\pi}{6}.
Passo 3
Determinar qual curva está acima em cada subintervalo para montar a integral da área.
Em x=0: \cos 2\cdot 0=\cos 0=1 e \sin 0=0. Logo \cos 2x > \sin x perto de 0.
Em x=\pi/2: \cos 2\cdot \frac{\pi}{2}=\cos\pi=-1 e \sin\frac{\pi}{2}=1. Logo \sin x > \cos 2x perto de \pi/2.
Como as curvas se cruzam em x=\dfrac{\pi}{6}, concluímos:
No intervalo [0,\pi/6] a função superior é y=\cos 2x e a inferior é y=\sin x.
No intervalo [\pi/6,\pi/2] a função superior é y=\sin x e a inferior é y=\cos 2x.
Passo 4
Escrevo a área A como a soma das integrais das diferenças (função superior menos inferior) em cada subintervalo: