Determine a área da região limitada pelas curvas y = \cos 2x e y = \sin x no intervalo [0, \pi/2].

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\cos 2x e y=\sin x no intervalo [0,\pi/2].
Informações dadas e perguntas a responder:
  • As duas curvas são y=\cos 2x e y=\sin x.
  • Estamos interessados apenas para x em [0,\pi/2].
  • Precisamos encontrar a área da região limitada por essas curvas nesse intervalo (ou seja, integrar a diferença entre a função superior e a inferior, cuidando dos pontos de interseção).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção dentro de [0,\pi/2] resolvendo
\cos 2x = \sin x.
Para resolver essa equação uso a identidade de ângulo duplo em termos de \sin x:
\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
Substituindo na igualdade:
1 - 2\sin^2 x = \sin x.
Reescrevendo em forma de equação quadrática em s=\sin x:
2s^2 + s - 1 = 0.
Resolvo a quadrática usando fórmula de Bhaskara:
s = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
Obtenho s = \dfrac{1}{2} ou s = -1. Como \sin x em [0,\pi/2] varia entre 0 e 1, apenas s=\dfrac{1}{2} é admissível. Logo
\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}
no intervalo dado. Portanto há um único ponto de interseção relevante: x=\dfrac{\pi}{6}.

Passo 3

Determinar qual curva está acima em cada subintervalo para montar a integral da área.
  • Em x=0: \cos 2\cdot 0=\cos 0=1 e \sin 0=0. Logo \cos 2x > \sin x perto de 0.
  • Em x=\pi/2: \cos 2\cdot \frac{\pi}{2}=\cos\pi=-1 e \sin\frac{\pi}{2}=1. Logo \sin x > \cos 2x perto de \pi/2.
Como as curvas se cruzam em x=\dfrac{\pi}{6}, concluímos:
  • No intervalo [0,\pi/6] a função superior é y=\cos 2x e a inferior é y=\sin x.
  • No intervalo [\pi/6,\pi/2] a função superior é y=\sin x e a inferior é y=\cos 2x.

Passo 4

Escrevo a área A como a soma das integrais das diferenças (função superior menos inferior) em cada subintervalo:
A=\int_{0}^{\pi/6} \big(\cos 2x - \sin x\big)\,dx \;+\; \int_{\pi/6}^{\pi/2} \big(\sin x - \cos 2x\big)\,dx.

Passo 5

Calculo as primitivas necessárias e avalio as integrais.
Primitivas:
  • Para \cos 2x, uso que \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{2}\sin 2x\big)=\cos 2x. Logo \displaystyle \int \cos 2x\,dx = \tfrac{1}{2}\sin 2x + C.
  • Para \sin x, \displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C.
Assim, a primitiva de \cos2x - \sin x é
\frac{1}{2}\sin 2x + \cos x,
pois a derivada de \cos x é -\sin x, fazendo com que a soma gere \cos2x-\sin x.
Avalio a primeira integral:
\int_{0}^{\pi/6} \big(\cos 2x - \sin x\big)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin 2x + \cos x\right]_{0}^{\pi/6}.
Calculo os valores:
  • Em x=\dfrac{\pi}{6}: \sin(2\cdot \tfrac{\pi}{6})=\sin\tfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\tfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\frac{1}{2}\sin 2x + \cos x \Big|_{x=\pi/6} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.
  • Em x=0: \sin 0=0, \cos 0=1, então o valor é 1.
Portanto a primeira integral vale
\frac{3\sqrt{3}}{4} - 1.

Passo 6

Avalio a segunda integral. Uma primitiva de \sin x - \cos 2x é
-\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x,
pois a derivada de -\cos x é \sin x e a derivada de -\tfrac{1}{2}\sin 2x é -\cos 2x.
Então
\int_{\pi/6}^{\pi/2} \big(\sin x - \cos 2x\big)\,dx = \left[-\cos x - \frac{1}{2}\sin 2x\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.
Calculo os valores:
  • Em x=\pi/2: -\cos(\pi/2)-\tfrac{1}{2}\sin(\pi)=0-0=0.
  • Em x=\pi/6: -\cos(\pi/6)-\tfrac{1}{2}\sin(\pi/3) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{3\sqrt{3}}{4}.
Logo a segunda integral vale
0 - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

Passo 7

Somando as duas partes para obter a área total:
A = \left(\frac{3\sqrt{3}}{4} - 1\right) + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} - 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 1.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}-1

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