Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 + x e y = 2x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^3 + x e y = 2x.
Informações dadas:
  • Duas curvas explícitas em função de x: y_1(x)=x^3+x e y_2(x)=2x.
  • A região limitada por elas será entre os pontos de interseção dessas curvas.
O que vamos precisar encontrar:
  • Os pontos de interseção (valores de x onde as duas curvas coincidem).
  • Em quais intervalos qual curva está acima da outra, para montar a integral correta.
  • Calcular a integral (área) apropriada.

Passo 2

Encontre os pontos de interseção resolvendo (x^3 + x) = 2x.
Colocando tudo do mesmo lado:
x^3 + x - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x^3 - x = 0.
Fatorando:
x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)=0.
Portanto as soluções são
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.
Calcule as coordenadas y correspondentes (por exemplo usando y=2x):
x=-1 \Rightarrow y=2(-1)=-2,\quad x=0\Rightarrow y=0,\quad x=1\Rightarrow y=2.
Os pontos de interseção são (-1,-2), (0,0) e (1,2).

Passo 3

Decidir qual curva está acima em cada intervalo entre as interseções. Isso é necessário porque a fórmula da área entre curvas é a integral da função superior menos a inferior.
Considere a diferença
\Delta(x)=y_2(x)-y_1(x)=2x-(x^3+x) = -x^3 + x = x(1-x^2).
  • Para x\in(0,1): x>0 e 1-x^2>0 então \Delta(x)>0. Logo y_2(x)=2x está acima de y_1(x)=x^3+x nesse intervalo.
  • Para x\in(-1,0): x<0 e 1-x^2>0 então \Delta(x)<0. Logo y_1(x)=x^3+x está acima de y_2(x)=2x nesse intervalo.
Observação: a situação é simétrica em torno de x=0, então é natural que as áreas nas duas metades (de -1 a 0 e de 0 a 1) sejam iguais.

Passo 4

Montar a integral da área. A área total é a integral da diferença (função superior menos inferior) sobre cada intervalo e somar:
\text{Área}=\int_{-1}^{0}\bigl((x^3+x)-2x\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{1}\bigl(2x-(x^3+x)\bigr)\,dx.Á
Simplificando os integrandos:
  • Para -1\le x\le0: (x^3+x)-2x = x^3 - x.
  • Para 0\le x\le1: 2x-(x^3+x) = -x^3 + x = x - x^3.
Como os integrandos são negativos um do outro e a região é simétrica, podemos usar a simetria para simplificar:
\text{Área} = 2\int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx.Á

Passo 5

Lembrar como integrar polinômios básicos. Regra: a primitiva de x^n é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1). Aqui temos duas parcelas, então integramos termo a termo.
Calcule a integral dentro:
\int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}.

Passo 6

Avalie a primitiva nos extremos:
Substituindo x=1:
\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
Substituindo x=0 0. Logo
\int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx = \frac{1}{4}.
Pela simetria (passo 4),
\text{Área} = 2\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.Á

Resposta

\dfrac{1}{2}

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