Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas curvas explícitas em função de
: e . - A região limitada por elas será entre os pontos de interseção dessas curvas.
O que vamos precisar encontrar:
- Os pontos de interseção (valores de
onde as duas curvas coincidem). - Em quais intervalos qual curva está acima da outra, para montar a integral correta.
- Calcular a integral (área) apropriada.
Passo 2
Encontre os pontos de interseção resolvendo
.
Colocando tudo do mesmo lado:
Fatorando:
Portanto as soluções são
Calcule as coordenadas
correspondentes (por exemplo usando
):
Os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Decidir qual curva está acima em cada intervalo entre as interseções. Isso é necessário porque a fórmula da área entre curvas é a integral da função superior menos a inferior.
Considere a diferença
- Para
: e então . Logo está acima de nesse intervalo. - Para
: e então . Logo está acima de nesse intervalo.
Observação: a situação é simétrica em torno de
, então é natural que as áreas nas duas metades (de
a
e de
a
) sejam iguais.
Passo 4
Montar a integral da área. A área total é a integral da diferença (função superior menos inferior) sobre cada intervalo e somar:
Simplificando os integrandos:
- Para
: - Para
:
Como os integrandos são negativos um do outro e a região é simétrica, podemos usar a simetria para simplificar:
Passo 5
Lembrar como integrar polinômios básicos. Regra: a primitiva de
é
(para
). Aqui temos duas parcelas, então integramos termo a termo.
Calcule a integral dentro:
Passo 6
Avalie a primitiva nos extremos:
Substituindo
:
Substituindo
dá
. Logo
Pela simetria (passo 4),