Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Informações dadas:
- Uma curva é
. - A outra curva é a reta
. - A região limitada é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram formando uma fronteira fechada.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção entre as curvas para saber o intervalo em
que limita a região. Igualamos
das duas curvas:
Resolvendo,
Portanto as curvas se interceptam em
e
. A região está, em
, entre
e
.
Passo 3
Conceito que vamos usar (aula rápida): quando duas curvas
e
limitam uma região em
, a área dessa região é
Aqui
é a função que tem o maior valor em cada
do intervalo e
o menor. A integral soma as “faixas verticais” de altura
ao longo de
.
Passo 4
Identifiquemos, para
, qual é
e
. Como a parábola
tem vértice em
e abre para cima, no intervalo
ela fica abaixo da reta
. Logo
Aplicando a fórmula da área,
Observação útil (simetria): a função
é par (mesmo), pois
. Então a integral sobre
vale duas vezes a integral sobre
. Assim
Passo 5
Calculemos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma antiderivada de
:
Agora avaliamos de
a
:
Fazendo a subtração:
Lembrando o fator 2 da simetria,
Passo 6
Interpretação final e ânimo: a área da região limitada entre a parábola
e a reta
é
(unidades quadradas). Foi só montar a integral correta, usar simetria para simplificar e calcular a antiderivada — você consegue repetir isso na prova!