Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4 e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 4 e y = 0. Informações dadas:
  • Uma curva é y = x^2 - 4.
  • A outra curva é a reta y = 0.
  • A região limitada é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram formando uma fronteira fechada.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção entre as curvas para saber o intervalo em x que limita a região. Igualamos y das duas curvas:
x^2 - 4 = 0.
Resolvendo,
x^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 2.
Portanto as curvas se interceptam em x=-2 e x=2. A região está, em x, entre -2 e 2.

Passo 3

Conceito que vamos usar (aula rápida): quando duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) limitam uma região em [a,b], a área dessa região é
\text{área}=\int_{a}^{b} \bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.á
Aqui y_{\text{top}}(x) é a função que tem o maior valor em cada x do intervalo e y_{\text{bot}}(x) o menor. A integral soma as “faixas verticais” de altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} ao longo de x.

Passo 4

Identifiquemos, para x\in[-2,2], qual é y_{\text{top}} e y_{\text{bot}}. Como a parábola y=x^2-4 tem vértice em (0,-4) e abre para cima, no intervalo [-2,2] ela fica abaixo da reta y=0. Logo
y_{\text{top}}(x)=0,\qquad y_{\text{bot}}(x)=x^2-4.
Aplicando a fórmula da área,
\text{área}=\int_{-2}^{2} \bigl(0-(x^2-4)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx.á
Observação útil (simetria): a função 4-x^2 é par (mesmo), pois (4-x^2)=4-(-x)^2. Então a integral sobre [-2,2] vale duas vezes a integral sobre [0,2]. Assim
\text{área}=2\int_{0}^{2} (4-x^2)\,dx.á

Passo 5

Calculemos a integral passo a passo. Primeiro achamos uma antiderivada de 4-x^2:
\int (4-x^2)\,dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C.
Agora avaliamos de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (4-x^2)\,dx = \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = \left(4\cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0 - 0\right) = 8 - \frac{8}{3}.
Fazendo a subtração:
8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Lembrando o fator 2 da simetria,
\text{área}=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}.á

Passo 6

Interpretação final e ânimo: a área da região limitada entre a parábola y=x^2-4 e a reta y=0 é \dfrac{32}{3} (unidades quadradas). Foi só montar a integral correta, usar simetria para simplificar e calcular a antiderivada — você consegue repetir isso na prova!

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

Exercícios relacionados