Determine a área da região limitada pelas curvas
e
e a reta
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
e pela reta
.
Informações dadas (explicitamente): as duas curvas são e
e a reta vertical que fecha a região é
.
O que precisamos encontrar: o intervalo em em que essas três curvas fecham uma região e, em seguida, calcular a área dessa região.
Informações dadas (explicitamente): as duas curvas são
O que precisamos encontrar: o intervalo em
Passo 2
Primeiro precisamos achar onde as duas curvas se encontram (esses pontos são candidatos a serem limites da região). Para isso resolvemos a equação
Fatorando
(que nunca é zero) obtemos
Como
para todo
, resta
, ou seja
Portanto as duas curvas se interceptam em
. Juntando isso com a reta
, a região interessa está entre
e
.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva fica em cima (maior
) entre
e
, para integrar “topo menos baixo”. Compare
e
para
. Como
quando
, temos
para todo
. Em particular, no intervalo
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
A área
entre duas curvas
(acima) e
(abaixo) de
a
é dada pela integral definida
Aqui
,
,
e
. Logo o integral que queremos é
Explicando por que: cada fatia vertical em
tem altura
e espessura
; somando (integrando) de
a
obtemos a área total.
Passo 5
Calculamos a antiderivada termo a termo. Lembrando que a antiderivada de
em relação a
é
(porque ao derivar
obtemos
). Aplicando isso:
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Avaliamo-la nos limites
e
:
Como
, isto fica
Podemos também escrever de forma equivalente