Determine a área da região limitada pelas curvas y = e^{2x} e y = e^x e a reta x = 1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y=e^{2x} e y=e^{x} e pela reta x=1.
Informações dadas (explicitamente): as duas curvas são y=e^{2x} e y=e^{x} e a reta vertical que fecha a região é x=1.
O que precisamos encontrar: o intervalo em x em que essas três curvas fecham uma região e, em seguida, calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro precisamos achar onde as duas curvas se encontram (esses pontos são candidatos a serem limites da região). Para isso resolvemos a equação
e^{2x}=e^{x}.
Fatorando e^{x} (que nunca é zero) obtemos
e^{x}(e^{x}-1)=0.
Como e^{x}\neq0 para todo x, resta e^{x}-1=0, ou seja
e^{x}=1 \implies x=0.
Portanto as duas curvas se interceptam em x=0. Juntando isso com a reta x=1, a região interessa está entre x=0 e x=1.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva fica em cima (maior y) entre x=0 e x=1, para integrar “topo menos baixo”. Compare e^{2x} e e^{x} para 0<x<1. Como 2x>x quando x>0, temos e^{2x}>e^{x} para todo x>0. Em particular, no intervalo [0,1] a função superior é y=e^{2x} e a inferior é y=e^{x}.

Passo 4

A área A entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) de x=a a x=b é dada pela integral definida
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Aqui f(x)=e^{2x}, g(x)=e^{x}, a=0 e b=1. Logo o integral que queremos é
A=\int_{0}^{1}\bigl(e^{2x}-e^{x}\bigr)\,dx.
Explicando por que: cada fatia vertical em x tem altura e^{2x}-e^{x} e espessura dx; somando (integrando) de 0 a 1 obtemos a área total.

Passo 5

Calculamos a antiderivada termo a termo. Lembrando que a antiderivada de e^{kx} em relação a x é \dfrac{1}{k}e^{kx} (porque ao derivar \dfrac{1}{k}e^{kx} obtemos e^{kx}). Aplicando isso:
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x},\qquad \int e^{x}\,dx=e^{x}.
Portanto uma primitiva de e^{2x}-e^{x} é \dfrac{1}{2}e^{2x}-e^{x}.

Passo 6

Avaliamo-la nos limites 0 e 1:
A=\left[\frac{1}{2}e^{2x}-e^{x}\right]_{0}^{1} =\left(\frac{1}{2}e^{2}-e\right)-\left(\frac{1}{2}e^{0}-e^{0}\right).
Como e^{0}=1, isto fica
A=\frac{1}{2}e^{2}-e-\frac{1}{2}+1 =\frac{1}{2}e^{2}-e+\frac{1}{2}.
Podemos também escrever de forma equivalente
A=\frac{1}{2}\bigl(e^{2}+1\bigr)-e.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{2}-e+\dfrac{1}{2}

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