Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 2 e y = 3x + 2.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 + 2 e y = 3x + 2.
Informações dadas:
  • Uma curva é a parábola y = x^2 + 2.
  • A outra curva é a reta y = 3x + 2.
  • Devemos encontrar a área da região onde essas duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.

Passo 2

Qual método usar e por quê: para achar área entre duas curvas que se cruzam, usamos a integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior, entre os pontos de interseção. A fórmula básica é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{topo}(x)-\text{baixo}(x)\big)\,dx,Á
onde a e b são as abscissas (valores de x) dos pontos de interseção. Aqui, precisamos:
  • achar os pontos de interseção (para obter a e b);
  • decidir qual função está por cima no intervalo [a,b];
  • calcular a integral da diferença.
Explicação rápida das ideias usadas:
  • Igualar as duas expressões de y dá os pontos onde as curvas se cortam.
  • A função que tiver valor maior para um x dado é a “superior”.
  • A integral definida de uma função positiva dá a área sob a curva; subtraindo as duas dá a área entre elas.

Passo 3

Achar os pontos de interseção: igualamos as duas expressões de y:
x^2+2=3x+2.
Subtraindo 3x+2 dos dois lados obtemos
x^2 - 3x = 0.
Fatorando x em evidência:
x(x-3)=0.
Portanto as soluções são
x=0\quad\text{e}\quad x=3.
Esses são os valores a=0 e b=3 para a integral.

Passo 4

Determinar qual curva está por cima no intervalo [0,3]. Calculamos a diferença
(3x+2)-(x^2+2)=3x-x^2.
Podemos reescrever como
3x-x^2 = x(3-x).
Para x em (0,3) temos x>0 e 3-x>0, então x(3-x)>0. Logo, para 0<x<3 a diferença é positiva, ou seja a reta y=3x+2 está acima da parábola y=x^2+2. Em x=0 e x=3 elas se encontram.

Passo 5

Montar a integral que dá a área: como a reta é a função superior e a parábola a inferior no intervalo [0,3], a área é
\text{Área}=\int_{0}^{3} \big((3x+2)-(x^2+2)\big)\,dx=\int_{0}^{3} (3x-x^2)\,dx.Á
Explicando a integral e a antiderivada: para polinômios usamos a regra
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  • \int 3x\,dx = 3\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{3}{2}x^2.
  • \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
    Portanto uma primitiva para 3x-x^2 é
F(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3.

Passo 6

Calcular a integral definida usando a primitiva F(x):
\text{Área}=F(3)-F(0).Á
Calculamos F(3):
F(3)=\frac{3}{2}\cdot 3^2 - \frac{1}{3}\cdot 3^3 = \frac{3}{2}\cdot 9 - \frac{1}{3}\cdot 27.
Fazendo as contas passo a passo:
\frac{3}{2}\cdot 9 = \frac{27}{2},
\frac{1}{3}\cdot 27 = 9.
Então
F(3)=\frac{27}{2}-9=\frac{27}{2}-\frac{18}{2}=\frac{9}{2}.
E F(0)=0. Portanto
\text{Área}=\frac{9}{2}.Á

Resposta

\dfrac{9}{2}

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