Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Uma curva é a parábola
. - A outra curva é a reta
. - Devemos encontrar a área da região onde essas duas curvas se interceptam e formam uma região fechada.
Passo 2
Qual método usar e por quê: para achar área entre duas curvas que se cruzam, usamos a integral definida da diferença entre a função superior e a função inferior, entre os pontos de interseção. A fórmula básica é
onde
e
são as abscissas (valores de
) dos pontos de interseção. Aqui, precisamos:
- achar os pontos de interseção (para obter
e ); - decidir qual função está por cima no intervalo
; - calcular a integral da diferença.
Explicação rápida das ideias usadas:
- Igualar as duas expressões de
dá os pontos onde as curvas se cortam. - A função que tiver valor maior para um
dado é a “superior”. - A integral definida de uma função positiva dá a área sob a curva; subtraindo as duas dá a área entre elas.
Passo 3
Achar os pontos de interseção: igualamos as duas expressões de
:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Fatorando
em evidência:
Portanto as soluções são
Esses são os valores
e
para a integral.
Passo 4
Determinar qual curva está por cima no intervalo
. Calculamos a diferença
Podemos reescrever como
Para
em
temos
e
, então
. Logo, para
a diferença é positiva, ou seja a reta
está acima da parábola
. Em
e
elas se encontram.
Passo 5
Montar a integral que dá a área: como a reta é a função superior e a parábola a inferior no intervalo
, a área é
Explicando a integral e a antiderivada: para polinômios usamos a regra
Aplicando termo a termo:
-
. -
.
Portanto uma primitiva paraé
Passo 6
Calcular a integral definida usando a primitiva
:
Calculamos
:
Fazendo as contas passo a passo:
Então
E
. Portanto