Determine a área da região limitada pelas curvas y = 1/(x+1) e y = 1/(x+2) e a reta x = 1.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a área da região limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x+1} e y=\dfrac{1}{x+2} e pela reta x=1.”
Informações dadas que vamos usar:
  • As duas curvas são y_1(x)=\dfrac{1}{x+1} e y_2(x)=\dfrac{1}{x+2}.
  • A reta vertical é x=1.
  • Os pontos de intersecção da reta x=1 com as curvas são dados por (1,y_1(1)) e (1,y_2(1)).
    Neste passo só identifiquei o que o problema dá e o que ele pede; não comecei a resolver ainda.

Passo 2

Calculo as intersecções explícitas com a reta x=1:
  • y_1(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}. Logo a reta corta y_1 em \bigl(1,\tfrac{1}{2}\bigr).
  • y_2(1)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}. Logo a reta corta y_2 em \bigl(1,\tfrac{1}{3}\bigr).
    Também verifico se as duas curvas se intersectam entre si resolvendo \dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x+2}. Isso leva a
x+2=x+1,
ou seja 2=1, o que é impossível. Conclusão: as curvas y_1 e y_2 não se intersectam em nenhum ponto.

Passo 3

Estudo o comportamento das curvas (assíntotas verticais e horizontais), porque isso afeta se a região é realmente “limitada”:
  • Para y_1(x)=\dfrac{1}{x+1} há uma assíntota vertical em x=-1 (o denominador zera) e \lim_{x\to\pm\infty} y_1(x)=0.
  • Para y_2(x)=\dfrac{1}{x+2} há uma assíntota vertical em x=-2 e \lim_{x\to\pm\infty} y_2(x)=0.
    Em particular, y_2(x) diverge quando x\to-2 (tende a +\infty ao aproximar por valores maiores que -2 e a -\infty ao aproximar por valores menores que -2). Portanto uma das curvas toma valores arbitrariamente grandes (em módulo) perto de x=-2.

Passo 4

Interpreto qual região está sendo descrita: a descrição "região limitada pelas curvas y_1, y_2 e a reta x=1" normalmente significaria o conjunto de pontos com abscissa x\le 1 e ordenada entre as duas curvas, ou seja a região vertical “entre” as duas curvas a partir de x=1 indo para a esquerda. Para ver se essa região é limitada (fechada e com área finita) preciso checar o que acontece quando me aproximo das assíntotas em x=-1 e x=-2. Já vimos que uma das curvas ( y_2) diverge em x=-2, portanto o espaço entre y_1 e y_2 cresce sem limite quando nos aproximamos de x=-2.

Passo 5

Faço um argumento mais rigoroso usando a expressão da diferença das funções. A diferença (sem valor absoluto) é
\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}.
Para a área entre as curvas sobre um intervalo de abscissas [a,1] (com a<1) a expressão natural seria a integral imprópria
\int_{a}^{1}\left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right|\,dx.
Agora foco o comportamento próximo de x=-2. Para x suficientemente próximo de -2 o termo \dfrac{1}{x+1} é limitado (tende a -1), enquanto \dfrac{1}{x+2} torna-se arbitrariamente grande em módulo. Logo, existe \delta>0 e C>0 tais que, para 0<|x+2|<\delta,
\left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right|\ge \dfrac{1}{2}\left|\dfrac{1}{x+2}\right|.
Assim, a contribuição da integral numa vizinhança de -2 satisfaz
\int_{-2-\delta}^{-2+\delta}\left|\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right|\,dx \ge \dfrac{1}{2}\int_{-2-\delta}^{-2+\delta}\dfrac{1}{|x+2|}\,dx.
Mas a integral \displaystyle\int_{-2-\delta}^{-2+\delta}\dfrac{1}{|x+2|}\,dx diverge (é do tipo \int_{0}^{\delta}\dfrac{1}{t}\,dt, que é infinita). Portanto a integral que representa a área entre as curvas até x=1 diverge.

Passo 6

Conclusão lógica: a região descrita não é limitada (ela se estende verticalmente sem limite perto de x=-2) e a integral que representaria a sua área é divergente. Em termos práticos, a área é infinita — não existe área finita que possa ser atribuída à região pedida.

Resposta

A região não é limitada e a área é infinita (não existe área finita).

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