Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas: as duas equações das curvas são e
. A região limitada é a área comum entre essas duas curvas, fechada pelas interseções delas.
Informações dadas: as duas equações das curvas são
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas curvas:
Colocando tudo num lado:
Fatorando
obtemos
Reconhecemos que
. Assim as raízes são
,
e as raízes da quadrática
. Calculamos o discriminante dessa quadrática:
logo a quadrática não tem raízes reais. Portanto os pontos de interseção reais são
com
correspondentes
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo entre
e
. Tomamos um ponto teste, por exemplo
:
Como
, temos
para
. Portanto, no intervalo
a curva
está acima da curva
.
Passo 4
Fórmula que vamos usar (explicando bem): se duas funções
e
são tais que
em
, a área da região entre elas é
Aqui
e
são os limites esquerdo e direito da região (os pontos de interseção),
é a função de cima (maior) e
a de baixo (menor). A integral soma, para cada fatia vertical
, a altura
.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
,
,
e
. Então
Agora integramos termo a termo. Lembre que a primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Assim
Avaliando em
e subtraindo o valor em
:
Calculando a diferença com denominador comum
:
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a área pedida é
unidades de área. Ótimo — você viu todo o processo: achar interseções, identificar qual função está acima, montar a integral e calcular a primitiva. Dá pra fazer isso na prova com calma e sem mistério; repete esse roteiro e fica mais fácil!