Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^4 e y = x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas y = x^4 e y = x.
Informações dadas: as duas equações das curvas são y = x^4 e y = x. A região limitada é a área comum entre essas duas curvas, fechada pelas interseções delas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (esses serão os limites de integração). Igualamos as duas curvas:
x^4 = x.
Colocando tudo num lado:
x^4 - x = 0.
Fatorando x obtemos
x(x^3 - 1) = 0.
Reconhecemos que x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). Assim as raízes são x=0, x=1 e as raízes da quadrática x^2+x+1. Calculamos o discriminante dessa quadrática:
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 < 0,
logo a quadrática não tem raízes reais. Portanto os pontos de interseção reais são
x=0 \quad\text{e}\quad x=1,
com y correspondentes y=0 e y=1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo entre x=0 e x=1. Tomamos um ponto teste, por exemplo x=\tfrac{1}{2}:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^4 = \tfrac{1}{16} \quad\text{e}\quad \tfrac{1}{2} = \tfrac{8}{16}.
Como \tfrac{1}{16} < \tfrac{8}{16}, temos x^4 < x para 0<x<1. Portanto, no intervalo [0,1] a curva y=x está acima da curva y=x^4.

Passo 4

Fórmula que vamos usar (explicando bem): se duas funções f(x) e g(x) são tais que f(x)\ge g(x) em [a,b], a área da região entre elas é
A = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Aqui a e b são os limites esquerdo e direito da região (os pontos de interseção), f(x) é a função de cima (maior) e g(x) a de baixo (menor). A integral soma, para cada fatia vertical dx, a altura f(x)-g(x).

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=1, f(x)=x e g(x)=x^4. Então
A = \int_{0}^{1} \bigl(x - x^4\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembre que a primitiva de x é \tfrac{x^2}{2} e a primitiva de x^4 é \tfrac{x^5}{5}. Assim
A = \left[\tfrac{x^2}{2} - \tfrac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}.
Avaliando em x=1 e subtraindo o valor em x=0:
A = \left(\tfrac{1^2}{2} - \tfrac{1^5}{5}\right) - \left(\tfrac{0^2}{2} - \tfrac{0^5}{5}\right) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5}.
Calculando a diferença com denominador comum 10:
\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{10} - \tfrac{2}{10} = \tfrac{3}{10}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a área pedida é \tfrac{3}{10} unidades de área. Ótimo — você viu todo o processo: achar interseções, identificar qual função está acima, montar a integral e calcular a primitiva. Dá pra fazer isso na prova com calma e sem mistério; repete esse roteiro e fica mais fácil!

Resposta

\tfrac{3}{10}

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