Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e a reta vertical
. Informações relevantes dadas:
- As curvas são
e . - Existe também a reta vertical
. - A região pedida é a área limitada por essas três curvas (logo devemos localizar onde as duas curvas se intersectam e quais porções ficam entre
e — mas isso será determinado nos próximos passos).
Passo 2
Encontrar as interseções entre
e
: igualamos as duas funções para achar os pontos em que se cruzam.
Multiplicando por
(assumindo
):
A solução real é
e então o ponto de interseção é
, porque substituindo em qualquer uma das curvas dá
.
Passo 3
Determinar o intervalo em
que limita a região:
- As curvas se cruzam em
. - A reta vertical
corta em e corta em .
Portanto a região limitada está entree .
Passo 4
Decidir qual curva é o “topo” (maior) e qual é o “fundo” (menor) no intervalo
.
- Em
ambas valem . - Em
, vale e vale , então está acima de . - Para garantir no intervalo inteiro, podemos considerar a diferença
Em
temos
. Para
,
cresce e
decresce, então
em
. Assim, no intervalo
a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 5
Montar a integral que dá a área entre duas curvas: se uma curva superior é
e a inferior é
em
, então a área
é
Aqui
,
,
,
. Logo
Passo 6
Calcular a integral passo a passo. Integramos termo a termo.
- Integral de
é . - Integral de
é (logaritmo natural).
Portanto uma primitiva deé
Avaliaremos nos limites:
Como
, obtemos
Passo 7
Dar uma aproximação numérica (útil na prova para conferir ordem de grandeza):
logo