Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{1}{x}, y = x^2 e x = 2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=x^2 e a reta vertical x=2. Informações relevantes dadas:
  • As curvas são y=\frac{1}{x} e y=x^2.
  • Existe também a reta vertical x=2.
  • A região pedida é a área limitada por essas três curvas (logo devemos localizar onde as duas curvas se intersectam e quais porções ficam entre x=1 e x=2 — mas isso será determinado nos próximos passos).

Passo 2

Encontrar as interseções entre y=\frac{1}{x} e y=x^2: igualamos as duas funções para achar os pontos em que se cruzam.
x^2 = \frac{1}{x}
Multiplicando por x (assumindo x\neq0):
x^3 = 1.
A solução real é
x=1,
e então o ponto de interseção é (1,1), porque substituindo em qualquer uma das curvas dá y=1.

Passo 3

Determinar o intervalo em x que limita a região:
  • As curvas se cruzam em x=1.
  • A reta vertical x=2 corta y=\frac{1}{x} em (2,\tfrac{1}{2}) e corta y=x^2 em (2,4).
    Portanto a região limitada está entre x=1 e x=2.

Passo 4

Decidir qual curva é o “topo” (maior) e qual é o “fundo” (menor) no intervalo x\in[1,2].
  • Em x=1 ambas valem 1.
  • Em x=2, y=x^2 vale 4 e y=\frac{1}{x} vale \tfrac{1}{2}, então x^2 está acima de \frac{1}{x}.
  • Para garantir no intervalo inteiro, podemos considerar a diferença
g(x)=x^2-\frac{1}{x}.
Em x=1 temos g(1)=0. Para x>1, x^2 cresce e \frac{1}{x} decresce, então g(x)>0 em (1,2]. Assim, no intervalo [1,2] a curva superior é y=x^2 e a inferior é y=\frac{1}{x}.

Passo 5

Montar a integral que dá a área entre duas curvas: se uma curva superior é y_{\text{top}}(x) e a inferior é y_{\text{bot}}(x) em a\le x\le b, então a área A é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui y_{\text{top}}(x)=x^2, y_{\text{bot}}(x)=\frac{1}{x}, a=1, b=2. Logo
A=\int_{1}^{2}\left(x^2-\frac{1}{x}\right)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo. Integramos termo a termo.
  • Integral de x^2 é \displaystyle \frac{x^3}{3}.
  • Integral de \frac{1}{x} é \ln x (logaritmo natural).
    Portanto uma primitiva de x^2-\frac{1}{x} é
F(x)=\frac{x^3}{3}-\ln x.
Avaliaremos nos limites:
A = \left[\frac{x^3}{3}-\ln x\right]_{1}^{2} = \left(\frac{8}{3}-\ln 2\right)-\left(\frac{1}{3}-\ln 1\right).
Como \ln 1=0, obtemos
A=\frac{8}{3}-\ln 2-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}-\ln 2.

Passo 7

Dar uma aproximação numérica (útil na prova para conferir ordem de grandeza):
\frac{7}{3}\approx 2{,}333333\quad\text{e}\quad \ln 2\approx 0{,}693147,
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A\approx 2{,}333333-0{,}693147\approx 1{,}640186\approx 1{,}6402.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}-\ln 2
\displaystyle \approx 1{,}6402

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