EXERCÍCIO 3:

Um eixo de diâmetro de 25 mm é estaticamente torcido até 230 Nm . Ele é feito de alumínio (195-T6) fundido com uma resistência de escoamento em tração de 160 MPa e uma resistência de escoamento em compressão de 170 MPa . Ele é usinado ao diâmetro final. Calcule o fator de segurança do eixo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o fator de segurança do eixo:
  • diâmetro final do eixo: d = 25\\ \text{mm}
  • torque aplicado: T = 230\\ \text{N}\cdot\text{m}
  • resistência de escoamento à tração (tensão de escoamento): \sigma_{y,\text{trac}} = 160\\ \text{MPa}
  • resistência de escoamento à compressão: \sigma_{y,\text{comp}} = 170\\ \text{MPa}
O que se pede: calcular o fator de segurança n do eixo quando ele está submetido ao torque dado.

Passo 2

Conceito e fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular submetido à torção.
  • Ao aplicar um torque T num eixo circular, surge uma tensão de cisalhamento distribuída, e o valor máximo de cisalhamento na superfície é dado por
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • T é o torque (unidades de força·comprimento),
  • r é o raio do eixo,
  • J é o momento polar de inércia da seção circular.
  • Para uma seção circular sólida de diâmetro d vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}, \quad r=\frac{d}{2}.
  • Substituindo r e J na expressão de \tau_{\max} obtemos a forma direta prática
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Eu mostrei a origem da fórmula para você poder usá-la rápido na prova sem ter que rededuzir.

Passo 3

Cálculo numérico de \tau_{\max}.
Primeiro converto o torque para unidades compatíveis com d em milímetros:
T = 230\\ \text{N}\cdot\text{m} = 230\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
Agora uso a fórmula
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Substituindo os valores:
\tau_{\max}=\frac{16\cdot 230\,000}{\pi\cdot 25^{3}}\\ \text{MPa}.
Faço as contas passo a passo:
25^{3}=15\,625,
\pi\cdot 15\,625\approx 49\,087{,}39,
16\cdot 230\,000 = 3\,680\,000,
\tau_{\max} \approx \frac{3\,680\,000}{49\,087{,}39}\\ \text{MPa}\approx 74{,}95\\ \text{MPa}.
Portanto a tensão de cisalhamento máxima no eixo é aproximadamente \tau_{\max}\approx 74{,}95\\ \text{MPa}.

Passo 4

Escolha do critério de escoamento para obter a tensão admissível de cisalhamento.
  • Para materiais dúcteis existem dois critérios comuns: máximo esforço cortante (Tresca) e energia de distorção (von Mises). O critério de Tresca é mais simples e mais conservador (mais usado em introdução/prática básica). Seguirei o critério de Tresca porque é ensinado cedo e é adequado para um cálculo conservador de projeto de eixo.
  • Pelo critério de Tresca, a tensão de cisalhamento de escoamento admissível é
\tau_{y}=\frac{\sigma_{y}}{2},
onde \sigma_{y} é a tensão de escoamento em tração (ou o menor valor entre tração/compressão se houver diferença). Aqui usamos o menor valor para ser conservador:
\sigma_{y}=\min(160,\;170)=160\\ \text{MPa}.
  • Assim
\tau_{y}=\frac{160}{2}\\ \text{MPa}=80\\ \text{MPa}.

Passo 5

Cálculo do fator de segurança n.
Definição do fator de segurança no contexto de cisalhamento:
n=\frac{\tau_{y}}{\tau_{\max}}.
Substituindo os valores:
n=\frac{80}{74{,}95}\approx 1{,}067.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
n \approx 1{,}07.
Observação rápida: se você tivesse usado o critério de von Mises obteria um resultado menos conservador (maior n, cerca de 1{,}23), mas o procedimento acima (Tresca + usar o menor \sigma_{y}) é mais cauteloso.

Resposta

n \approx 1{,}07

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